博赫纳积分

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:07:49 #积分的定义,拓扑向量空间

在数学中,以萨洛蒙·博赫纳命名的博赫纳积分(英语:Bochner integral)作为简单函数积分的极限,将勒贝格积分的定义推广到在巴拿赫空间中取值的函数。

令(, Σ, μ)为测度空间,为巴拿赫空间。博赫纳积分以与勒贝格积分相同的方式定义。首先,简单函数是任意如下形式的有限和

其中是σ-代数Σ的不相交元素,是的不同元素,而χE是的指示函数。如果()每当 ≠ 0时有限,则简单函数是可积的,积分如下定义

与普通勒贝格积分完全相同。

可测量函数ƒ:→是博赫纳可积的,如果存在一列可积的简单函数满足

其中左边的积分是普通勒贝格积分。

在这种情形下,博赫纳积分定义为

可以证明,函数是博赫纳可积的当且仅当它位于博赫纳空间  L 1 {\displaystyle L^{1}}

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