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博赫纳积分

✍ dations ◷ 2025-04-03 10:40:04 #积分的定义,拓扑向量空间

在数学中，以萨洛蒙·博赫纳命名的博赫纳积分（英语：Bochner integral）作为简单函数积分的极限，将勒贝格积分的定义推广到在巴拿赫空间中取值的函数。

令(, Σ, μ)为测度空间，为巴拿赫空间。博赫纳积分以与勒贝格积分相同的方式定义。首先，简单函数是任意如下形式的有限和

其中是σ-代数Σ的不相交元素，是的不同元素，而χ_E是的指示函数。如果()每当 ≠ 0时有限，则简单函数是可积的，积分如下定义

与普通勒贝格积分完全相同。

可测量函数ƒ:→是博赫纳可积的，如果存在一列可积的简单函数满足

其中左边的积分是普通勒贝格积分。

在这种情形下，博赫纳积分定义为

可以证明，函数是博赫纳可积的当且仅当它位于博赫纳空间 $L^{1}$ $L^{1}$ 。

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