圆周率近似值

✍ dations ◷ 2025-04-26 13:19:54 #逼近,数学历史,圆周率


值得注意的是,一些法律或历史文本欲“定义π”为有理数,尤其是1897年的“印第安纳州法案”,指明“直径和圆周比例为四分之五比4(暗示“π= 3.2”);和希伯来圣经中的一个段落,暗示“π= 3”。

在古代,人们使用60进制来计算。在60进制中,π能被准确至小数点后八位(十进制),而这数字是3:8:29:4460,即是:

(下一个60进制的数位为0)

除此之外,π的近似值还能以以下方式表示:

可以通过蒙特卡洛方法来计算圆周率 π {\displaystyle \pi } ,} = {239, 132}是佩尔方程“2-22 = -1”的其中一个解答。)

印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金发现了π的很多其他表示方式。他与戈弗雷·哈罗德·哈代一起工作了很多年。

如果要计算π小数点后很多位,计算者通常会使用高斯-勒让德算法,波尔温公式(英语:Borwein's algorithm),和1976年发明的萨拉明 - 布伦特公式。

π和1/π的小数点后首十万位能在古腾堡计划里查阅(参见#外部链接)。

在2002年12月,在东京大学进修的金田康正发放了π小数点后1,241,100,000,000位的值,创造了新的世界记录。他在2002年9月以六十四部日立的超级电脑计算出这值。这些电脑有1TB的内存,而且能在每秒执行2兆次运算。上一个记录(21亿位)所使用的电脑每秒只能执行1兆次运算。金田康正使用了以下公式:

这些近似值由于有太多数位,所以没有实际用途,只是用来测试超级电脑。

在1997年,大卫·贝利(David H. Bailey(英语:David H. Bailey))、皮特·波尔温(英语:Peter Borwein)和西蒙·普劳夫发布了一条新的公式来计算π的值:

这公式能在不知道前k - 1数位的值之下,在2进制或16进制中计算出π的第k个数位的值。贝利的网页包含了计算方法,而且把方法以几个编程语言记下。PiHex(英语:PiHex)计算出π小数点后一兆数位的值。

法布里斯·贝拉推出了贝利-波尔温-普劳夫公式的改良版——贝拉公式:

还有其他计算π的值的公式:

拉马努金的公式收敛的速度异常地快,这公式后来在2000年演变成最快的公式:

大多数计算机代数系统可以计算出π和其他常见的数学常数到任何所需的精度。

计算π的功能中还包括许多通用库任意精度算术运算,例如CLN和MPFR。

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