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多重指标

✍ dations ◷ 2025-08-24 07:14:50 #数学表示法,多变量微积分,组合数学

多重指标是数学中一种方便的表示法，它将指标中的单个整数推广为多个整数，它可以简化多元微积分、偏微分方程与分布理论中的计算，也便于操作幂级数。

一个 $n {\displaystyle n}$ ，当 $|\mathbf {h} |$ $|{\mathbf {h}}|$ 充分小时有下述展开

其实这不外是定义，多元指标在此提供了简练的表示法。

对于存在够高阶导数的函数，我们也有带余项的泰勒展开式：

其中的最后一项（余项）有多种表法，例如柯西的积分表法：

一个形式上的 $n {\displaystyle n}$ $n$ 变元 $N {\displaystyle N}$ $N$ -阶偏微分算子能以多重指标写成

分部积分：对有界定义域 $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ $\Omega \subset {\mathbb {R}}^{n}$ 上的紧支集光滑函数，我们有

此公式用以定义分布与弱导数。

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