多重指标

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:06:36 #数学表示法,多变量微积分,组合数学

多重指标是数学中一种方便的表示法,它将指标中的单个整数推广为多个整数,它可以简化多元微积分、偏微分方程与分布理论中的计算,也便于操作幂级数。

一个 n {\displaystyle n} ,当 | h | {\displaystyle |\mathbf {h} |} 充分小时有下述展开

其实这不外是定义,多元指标在此提供了简练的表示法。

对于存在够高阶导数的函数,我们也有带余项的泰勒展开式:

其中的最后一项(余项)有多种表法,例如柯西的积分表法:

一个形式上的 n {\displaystyle n} 变元 N {\displaystyle N} -阶偏微分算子能以多重指标写成

分部积分:对有界定义域 Ω R n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} 上的紧支集光滑函数,我们有

此公式用以定义分布与弱导数。


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