润德勒坐标

相对论中，“双曲加速参考系”坐标构成了平直闵可夫斯基时空中重要且有用的坐标卡系统。狭义相对论中，一均匀加速的物体进行所谓的双曲运动（英语：hyperbolic motion (relativity)）；在其固有参考系中，该物体是静止的。这现象可与均匀重力场相应。关于平直时空中之加速度的一般性论述，参见狭义相对论中的加速度。

本文中，光速定义为 = 1，惯性坐标系为，双曲坐标系则为。这类双曲坐标系可主要分为两大类，与加速观察者位置有关：若观察者时间 = 0时位在 = 1/α（其中α为常数值的固有加速度，由共动的加速规测得），则双曲坐标系称为“润德勒坐标”（或译林德勒坐标；英语：Rindler coordinates），与之相应的是“润德勒度规”（Rindler metric）若观察者时间 = 0时位在 = 0，则双曲坐标系有时称为“穆勒坐标”（Møller coordinates）或“寇特勒-穆勒坐标”（Kottler-Møller coordinates），与之相应的是“寇特勒-穆勒度规”（Kottler-Møller metric）。透过采用雷达坐标，可得到一常与双曲运动观察者有关的替代坐标卡（Chart）。雷达坐标有时也称作“拉斯坐标”（Lass coordinates） 寇特勒-穆勒坐标以及拉斯坐标也常标示为润德勒坐标。

关于润德勒坐标的历史，这样的坐标系在狭义相对论发表不久后即被引入，在研究双曲运动此一概念的同时也被研究：与平直闵可夫斯基时空的关系如阿尔伯特·爱因斯坦（1907年，1912年）、马克斯·玻恩（1909年）、阿诺·索末菲（1910年）、马克斯·冯·劳厄（1911年）、亨德里克·洛伦兹（1913年）、弗里德里希·寇特勒（英语：Friedrich Kottler）（1914年）、沃夫冈·泡利（1921年）、Karl Bollert（1922年）、Stjepan Mohorovičić（1922年）、乔治·勒梅特（1924年）、爱因斯坦与纳森·罗森（1935年）、Christian Møller（1943年，1952年）、Fritz Rohrlich（1963年）、哈利·拉斯（英语：Harry Lass）（1963年）；与广义相对论中平直或弯曲时空的关联性：沃夫冈·润德勒（1960年，1966年）。

以沿${\displaystyle X}$-direction方向、常数值固有加速度${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$进行双曲运动的物体，其世界线为固有时${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$以及快度${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$的函数，关系式为：

其中${\displaystyle x=1/\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$为常数，${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$为变数。这样的世界线形态为双曲线${\displaystyle X^2-<!--\; -\; -->T^2=x^2}$。阿诺·索末菲展示了此方程组可重新表示为：${\displaystyle x}$为变数，而${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$为常数；如此可表现出共动观察者所测量到双曲运动物体的“静止型态”。设定${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=t}$，也就是采用了观察者的固有时作为整体双曲加速参考系的时间，则惯性坐标与双曲坐标之间的转换式变为：

${\displaystyle T=x\sinh <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t),X=x\cosh <!--\; \; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t),Y=y,Z=z}$

(1a)

逆转换式为：

对其微分并代入闵可夫斯基度规${\displaystyle d{s}^2=-<!--\; -\; -->d{T}^2+d{X}^2+d{Y}^2+d{Z}^2}$，则双曲加速系的度规张量为

${\displaystyle d{s}^2=-<!--\; -\; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x{)}^{2}d{t}^2+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2}$

(1b)

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