拓扑向量空间

拓扑向量空间是泛函分析研究中的一个基本结构。顾名思义就是要研究具有拓扑结构的向量空间。

拓扑向量空间主要都是函数空间，在上面定义的拓扑结构就是函数列收敛的条件。

希尔伯特空间及巴拿赫空间是典型的例子。

一个拓扑向量空间 是布于一个拓扑域 （通常取实数或复数域）上的向量空间，其上带有拓扑结构使得向量加法 × → 与标量乘法 × → 为连续映射。

注：某些作者也要求 是豪斯多夫空间，更有要求其为局部凸空间者（例如 Fréchet 空间）。一个拓扑向量空间是豪斯多夫空间的充分条件是该空间为 ${\displaystyle T_1}$ 上的拓扑向量空间范畴通常记为 TVS_K 或 TVect_K，其对象为布于 上的拓扑向量空间，态射则为连续的 -线性映射。拓扑向量空间的同构是既是同胚也是线性的映射。

所有赋范向量空间都是拓扑向量空间的例子。因此所有巴拿赫空间及希尔伯特空间也是这些例子。

在数学分析中应用的拓扑向量空间主要是函数空间。较常见的例子有：

当赋予乘积空间后，拓扑向量空间的家族的笛卡儿乘积都是拓扑向量空间．例如，是 : R → R函数的集合. 可以被乘积空间RR来确定的，并带有自然的乘积空间．有了这个拓扑，成了拓扑向量空间，称呼为逐点收敛的空间．命名的原因是如果() 是集合内元素的序列而对于所有实数 ()都有一个极限 () ，那么在集合内有一个极限．这个空间就是完整但不能赋范．

向量空间对加法构成阿贝尔群，拓扑向量空间的加法逆运算 ${\displaystyle v\mapsto <!--\; \mapsto \; -->-<!--\; -\; -->v}$ 是连续的（因为 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->v=(-<!--\; -\; -->1)\cdot <!--\; \cdot \; -->v}$），因此拓扑向量空间可视为可交换的拓扑群。

特别是：拓扑向量空间是一致空间，因此可以谈论完备性、一致收敛与一致连续。向量运算（加法与标量积）是一致连续的，因此拓扑向量空间的完备化仍为拓扑向量空间，原空间在其中是个稠密的线性子空间。

向量运算不只连续，实则还是同胚，因此我们可以从原点附近的一组局部基重构整个空间的拓扑。局部基可由以下两种开集组成：

一个拓扑向量空间可度量化的充要条件是：（一）它是豪斯多夫空间（二）原点有一组可数的局部基。

拓扑向量空间之间的线性函数若在某一点连续，则在整个定义域上连续。一个线性泛函连续的充要条件是其核为闭子空间。

有限维向量空间有唯一的豪斯多夫拓扑，因此任何有限维拓扑向量空间都同构于 ${\displaystyle K^n}$（带上确界范数：${\displaystyle \Vert <!--\; \Vert \; -->(a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n)\Vert <!--\; \Vert \; -->:=sup|a_i|}$）。对于豪斯多夫拓扑向量空间，有限维等价于局部紧。

在应用中，我们常考虑具有一些附带拓扑性质的空间，以下是一些常见的种类，大致以其性质之“良好”与否排序。

拓扑向量空间 ${\displaystyle V}$ 的连续对偶空间定义为所有连续线性泛函构成的空间 ${\displaystyle V^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$，其拓扑可定义为使对偶配对 ${\displaystyle V^{\ast <!--\; \ast \; -->}{\times <!--\; \times \; -->}_{K}V\to <!--\; \to \; -->K:(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},v)\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(v)}$ 为连续映射的最粗拓扑（称为弱-*拓扑）。当 ${\displaystyle V}$ 为巴拿赫空间时， 可以藉算子范数在 ${\displaystyle V^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$ 上定义更细的拓扑，然而弱-*拓扑具有一些紧致性定理（巴拿赫-阿劳格鲁定理），因而在应用中仍相当重要。