补数

✍ dations ◷ 2025-04-02 18:49:45 #数字

补数（complement）是对于给定的进位制，相加后能使自然数 a 的位数增加 1 的最小的数。可以在计算电路中，代替减 $x {\displaystyle x}$ 进制表示自然数至少需要位数字，规定

例如，十进制自然数 61 关于基数 10 的补数是 $10^{2}-61=39$ 的基数的补数加上，可以得到位数多一位的最小的自然数（ $=b^{n}$ 的减基数的补数加上，可以得到位数不增加的最大的自然数（ $=b^{n}-1$ 在上下文中明确的时候，“在进制中”的描述通常被省略。

但是，在基数不明确的情况下，“ $\beta$ ，减基数的补数称为。二进制中，基数的补数称为，减基数的补数称为。其他进制也有类似的称法。一些人，如高德纳，建议采用撇号区分。这样，指的是四进制中的基数的补数。而指的是五进制中的减基数的补数。但是，这并不是普遍的做法，而且在几乎所有情况下进制是明确的。多数作者写做和，一些格式手册建议采用和，不采用撇号。

对于N进制的自然数a，从个位开始的各位数字

规定 $a_{r}$ $a_{r}$ 不能为0。规定 $b_{i}$ $b_{i}$ 的各位为：

这时，N进制形如的

数 $b {\displaystyle b}$ $b$ 即称为“ $a {\displaystyle a}$ $a$ 的关于 $(N+1)$ $(N+1)$ 的补数”。

求十进制数 2304671 的补数。由于 9 = 2 + 7 = 3 + 6 = 0 + 9 = 4 + 5 = 6 + 3 = 7 + 2 = 1 + 8 ，令N=9时，自然数2304671对应的补数为 7695328 。7695328 + 1 = 7695329 ，因此N=10时，自然数2304671对应的补数是 7695329。

二进制中有 1 + 1 = 0, 1 + 0 = 1，求1的补数只需简单地将0与1相互替换。（位操作中的逻辑非运算）。

求二补数（即补码），只需要将1的补数加1。

JIS X 0005:2002 情报処理用语（データの表现） 05.08

Donald E. Knuth ‘The Art of Computer Programming Vol. 2 Seminumerical Algorithms Third Ed. 日本语版’ アスキー、2004年、191页。 (ISBN 4-7561-4543-4)

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