李纳-维谢势

在电动力学里，李纳-维谢势指的是移动中的带电粒子的推迟势。从麦克斯韦方程组，可以推导出李纳-维谢势；而从李纳-维谢势，又可以推导出一个移动中的带电粒子所生成的含时电磁场。但是，李纳-维谢势不能描述微观系统的量子行为。阿弗雷-玛丽·李纳（英语：Alfred-Marie Liénard）于1898年，艾密·维谢（英语：Emil Wiechert）于1900年，分别独立地研究求得李纳-维谢势的公式。于1995年，Ribarič和Šušteršič正确计算出移动中的偶极子和四极子的推迟势。经典电动力学的研究，关键地助导阿尔伯特·爱因斯坦发展出相对论。爱因斯坦细心地分析李纳-维谢势和电磁波传播，所累积的心得，引领他想出在狭义相对论里对于时间和空间的概念。经典电动力学表述是一个重要的发射台，使得物理学家能够飞航至更复杂的相对论性粒子运动的学术领域。虽然经典电动力学表述的李纳-维谢势，可以很准确地描述，独立移动中的带电粒子的物理行为，但是在原子层次，这表述遭到严峻的考验，无法给出正确地答案。为此缘故，物理学家感到异常困惑，因而引发了量子力学的创立对于粒子发射电磁辐射的能力，量子力学又添加了许多新限制。经典电动力学表述，表达于李纳-维谢势的方程，明显地违背了实验观测到的现象。例如，经典电动力学表述所预测的，环绕着原子不停运动的电子，由于连续不断地呈加速度状态，应该会不停地发射电磁辐射；但是，实际实验观测到的现象是，稳定的原子不会发射任何电磁辐射。经过研究论证，物理学家发现，电磁辐射的发射完全源自于电子轨域的离散能级的跃迁（参阅玻尔原子）。在二十世纪后期，经过多年的改进与突破，量子电动力学成功地解释了带电粒子的放射行为。假设，从源头位置 r ′ {displaystyle mathbf {r} ',!} 往检验位置 r {displaystyle mathbf {r} ,!} 发射出一束电磁波，而这束电磁波在检验时间 t {displaystyle t,!} 抵达观测者的检验位置 r {displaystyle mathbf {r} ,!} ，则这束电磁波发射的时间是推迟时间 t r {displaystyle t_{r},!} 。由于电磁波传播于真空的速度是有限的，观测者检验到电磁波的检验时间 t {displaystyle t,!} ，会不同于这电磁波发射的推迟时间 t r {displaystyle t_{r},!} 。推迟时间 t r {displaystyle t_{r},!} 定义为检验时间 t {displaystyle t,!} 减去电磁波传播的时间：其中， c {displaystyle c,!} 是光速。推迟时间的概念意味着电磁波的传播不是瞬时的。电磁波从发射位置传播到终点位置，需要一段传播期间，称为时间延迟。与日常生活的速度来比，电磁波传播的速度相当快。因此，对于小尺寸系统，这时间延迟，通常很难察觉。例如，从开启电灯泡到这电灯泡的光波抵达到观测者的双眼，所经过的时间延迟，只有几兆分之一秒。但是，对于大尺寸系统，像太阳照射阳光到地球，时间延迟大约为8分钟，可以经过实验侦测察觉。假设，一个移动中的带电粒子，所带电荷为 q {displaystyle q,!} ，随着时间 t {displaystyle t,!} 而改变的运动轨道为 w ( t ) {displaystyle mathbf {w} (t),!} 。设定矢量 R {displaystyle {boldsymbol {mathfrak {R}}},!} 为从带电粒子位置 r ′ = w ( t ) {displaystyle mathbf {r} '=mathbf {w} (t),!} 到检验位置 r {displaystyle mathbf {r} ,!} 的分离矢量：则李纳-维谢标势 Φ ( r , t ) {displaystyle Phi (mathbf {r} ,,t),!} 和李纳-维谢矢势 A ( r , t ) {displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} ,,t),!} 分别以方程表达为其中， ϵ 0 {displaystyle epsilon _{0},!} 是真空电容率， v {displaystyle mathbf {v} ,!} 是带电粒子的移动速度， v ( t ) = d w d t {displaystyle mathbf {v} (t)={frac {dmathbf {w} }{dt}},!} 。虽然李纳-维谢标势 Φ ( r , t ) {displaystyle Phi (mathbf {r} ,,t),!} 和李纳-维谢矢势 A ( r , t ) {displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} ,,t),!} 的时间参数是 t {displaystyle t,!} ，方程右手边的几个变数，带电粒子位置 r ′ {displaystyle mathbf {r} ',!} 和速度 v {displaystyle mathbf {v} ,!} 都是采推迟时间 t r {displaystyle t_{r},!} 时的数值：从推迟势，可以推导出李纳-维谢势。推迟标势 Φ ( r , t ) {displaystyle Phi (mathbf {r} ,,t),!} 与推迟矢势 A ( r , t ) {displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} ,,t),!} 分别以方程定义为（参阅推迟势）其中， ρ ( r ′ , t r ) {displaystyle rho (mathbf {r} ',,t_{r}),!} 和 J ( r ′ , t r ) {displaystyle mathbf {J} (mathbf {r} ',,t_{r}),!} 分别是推迟时刻的电荷密度和电流密度， V ′ {displaystyle {mathcal {V}}',!} 是积分的体空间， d 3 r ′ {displaystyle d^{3}mathbf {r} ',!} 是微小体元素， R {displaystyle {mathfrak {R}},!} 矢量还是采推迟时间 t r {displaystyle t_{r},!} 时的数值。带电粒子运动轨道的电荷密度可以用狄拉克δ函数表达为其中， δ ( r − w ( t ) ) {displaystyle delta (mathbf {r} -mathbf {w} (t)),!} 是狄拉克δ函数。代入推迟标势 Φ ( r , t ) {displaystyle Phi (mathbf {r} ,,t),!} 的方程，由于狄拉克δ函数 δ ( r ′ − w ( t r ) ) {displaystyle delta (mathbf {r} '-mathbf {w} (t_{r})),!} 的积分会从 r ′ {displaystyle mathbf {r} ',!} 的可能值中，挑选出当 r ′ = w ( t r ) {displaystyle mathbf {r} '=mathbf {w} (t_{r}),!} 时，所有变数的数值。所以，在积分内的变数，都可以被提出积分，采推迟时间 r ′ = w ( t r ) {displaystyle mathbf {r} '=mathbf {w} (t_{r}),!} 时所计算出的数值。积分内，只剩下狄拉克δ函数等待进一步处理：由于推迟时间 t r {displaystyle t_{r},!} 跟三个变数 t {displaystyle t,!} 、 r {displaystyle mathbf {r} ,!} 、 r ′ {displaystyle mathbf {r} ',!} 有关，这积分比较难计算，需要使用换元积分法。设定变数 η = r ′ − w ( t r ) {displaystyle {boldsymbol {eta }}=mathbf {r} '-mathbf {w} (t_{r}),!} 。那么，其雅可比行列式 J {displaystyle {mathfrak {J}},!} 为行列式内分量很容易计算，例如：按照上述方法，经过一番计算，可以得到所以，推迟标势 Φ ( r , t ) {displaystyle Phi (mathbf {r} ,,t),!} 的方程变为这样，可以得到李纳-维谢标势：类似地，也可以推导出李纳-维谢矢势。从推迟势的表达式可以看出它只依赖于推迟时刻源点的速度，而不依赖于源点的加速度，所以通过电磁势的洛仑兹变换也可以推导出李纳-维谢势。考虑一个在推迟时刻瞬时速度与电荷运动速度相同的惯性系，记作 S ′ {displaystyle S^{prime }} 。在 S ′ {displaystyle S^{prime }} 系中，电荷在推迟时刻的速度为零（虽然加速度未必为零），其标势应由库仑定律给出，矢势为零。:165ff标势和矢势从 S ′ {displaystyle S^{prime }} 系到 S {displaystyle S} 系的变换满足洛仑兹变换：其中， γ {displaystyle gamma } 是洛仑兹因子， β = v / c {displaystyle {boldsymbol {beta }}=mathbf {v} /c} 。代入后可以得到：R ′ {displaystyle {mathfrak {R}}'} 和 R {displaystyle {mathfrak {R}}} 的变换关系也由洛仑兹变换给出：将 R ′ {displaystyle {mathfrak {R}}'} 的表达式代入即得到李纳-维谢势。对于固定不动的带电粒子，电势的方程为这是李纳-维谢标势乘以雅可比行列式因子 J {displaystyle {mathfrak {J}},!} 。追根究柢，原因是移动中的带电粒子，虽然理论上是点粒子，但是由于它是在移动中，在积分里所占有的体积显得比较大，所带的电荷因此比较多，所以产生的电势不同。这也可以看作是一种多普勒效应。从李纳-维谢势，可以计算电场 E {displaystyle mathbf {E} ,!} 和磁场 B {displaystyle mathbf {B} ,!} ：求得的电场 E {displaystyle mathbf {E} ,!} 和磁场 B {displaystyle mathbf {B} ,!} 分别为其中，矢量 u {displaystyle mathbf {u} ,!} 设定为 c R ^ − v {displaystyle c{hat {boldsymbol {mathfrak {R}}}}-mathbf {v} ,!} ，带电粒子的加速度是 a = d v d t {displaystyle mathbf {a} ={frac {dmathbf {v} }{dt}},!} 。检查电场 E {displaystyle mathbf {E} ,!} 的方程，右边第一项称为广义库仑场，又称为速度场，因为这项目与加速度无关。当 v ≪ c {displaystyle vll c,!} ，粒子速度超小于光速时， u → c R ^ {displaystyle mathbf {u} to c{hat {boldsymbol {mathfrak {R}}}},!} ，这项目会趋向库仑方程：右边第二项称为辐射场，又称为加速度场，因为这项目的物理行为主要是由粒子的加速度决定。这个项目能够描述电磁辐射的生成程序。