巴塞尔问题

巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利（英语：Pietro_Mengoli）在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决。由于这个问题难倒了以前许多的数学家，欧拉一解出这个问题马上就出名了，当时他二十八岁。欧拉把这个问题作了一番推广，他的想法后来被黎曼在1859年的论文《论小于给定大数的素数个数》（）中所采用，论文中定义了黎曼ζ函数，并证明了它的一些基本的性质。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的，它是欧拉和伯努利家族的家乡。

这个问题是精确计算所有平方数的倒数的和，也就是以下级数的和：

这个级数的和大约等于1.644934（OEIS中的数列A013661）。巴塞尔问题是寻找这个数的准确值，并证明它是正确的。欧拉发现准确值是${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2/6}$)是数学中的一个很重要的函数，因为它与素数的分布密切相关。这个函数对于任何实数部分大于1的复数都是有定义的，由以下公式定义：

取 = 2，我们可以看出ζ(2)等于所有平方数的倒数之和：

用以下的等式，可以证明这个级数收敛：

因此ζ(2)的上界小于2，因为这个级数只含有正数项，它一定是收敛的。可以证明，当是正的偶数时，ζ()可以用伯努利数来表示。设${\displaystyle s=2n}$趋于无穷大时都趋于π2/6。

这两个表达式从余切和余割的恒等式推出。而这些恒等式则从棣莫弗定理推出。

设为一个实数，满足0 < < π/2，并设为正整数。从棣莫弗定理和余切函数的定义，可得：

根据二项式定理，我们有：

把两个方程合并，由于相等的两个复数的虚数部分也一定相等，因此有：

固定一个正整数，设 = 2 + 1，并考虑 = π/(2 + 1)对于 = 1、2、……、。那么是π的倍数，因此是正弦函数的零点，所以：

对于所有的 = 1、2、……、。₁、……、是区间(0, π/2)内不同的数。由于函数cot2 在这个区间内是一一对应的，因此当 = 1、2、……、时， = cot2 的值各不同。根据以上方程，这些个"tr"是以下次多项式的根：

根据韦达定理，我们可以直接从这个多项式的头两项计算出所有根的和，因此：

把恒等式csc2 = cot2 + 1代入，可得：

现在考虑不等式cot2 < 1/2 < csc2 。如果我们把对于 =  π/(2 + 1)的所有不等式相加起来，并利用以上的两个恒等式，便可得到：

把不等式乘以(π/(2 + 1))2，便得：

当趋于无穷大时，左面和右面的表达式都趋于π2/6，因此根据夹挤定理，有：

证毕。

设有函数${\displaystyle f(x)=x}$，其定义域为${\displaystyle x\in <!--\; \in \; -->(-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})}$。这个函数的傅里叶级数是：

根据帕塞瓦尔恒等式，我们有：

因此

证毕。