考克斯特群

在数学中，考克斯特群是一类由空间中对超平面的镜射生成的群。这类群广泛出现于数学的各分支中，二面体群与正多胞体的对称群都是例子；此外，根系对应到的外尔群也是考克斯特群。这类群以数学家哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特命名。

所谓考克斯特群，是一个群 ${\displaystyle W}$ 写成如下的表达式，即由满足一些交互关系的生成元生成的群

其中 ${\displaystyle m_{ij}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\cup <!--\; \cup \; -->\{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\}}$ 满足 ${\displaystyle m_{ii}=1}$ 以及 ${\displaystyle m_{ij}\ge <!--\; \ge \; -->2}$ 对所有 ${\displaystyle i\ne <!--\; \ne \; -->j}$。在此 ${\displaystyle m_{ij}=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$ 意指 ${\displaystyle (r_i{r}_j{)}^m}$ 恒不等于单位元。

注意到 ${\displaystyle r_i^2=e}$；若 ${\displaystyle m_{ij}=2}$，则 ${\displaystyle r_i{r}_j=r_j{r}_i}$。且 m 满足对称性 ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}}$。

令这组生成元为 ${\displaystyle S}$。资料 ${\displaystyle (W,S)}$ 称为考克斯特群。方阵 ${\displaystyle (m_{ij}{)}_{ij}}$ 称为考克斯特矩阵。

设 ${\displaystyle (W,S)}$ 为考克斯特群，可证明存在一个有限维实矢量空间 ${\displaystyle V}$ 及其上的非退化双线性形 ${\displaystyle q}$（未必正定），使得 ${\displaystyle W}$ 同构于正交群 ${\displaystyle O(q)}$ 的某个子群。由于 ${\displaystyle S}$ 的元素均为二阶，可视之为 ${\displaystyle (V,q)}$ 中对某些超平面的镜射。

利用 ${\displaystyle (W,S)}$ 的展示，定义元素的长度如下：对 ${\displaystyle w\in <!--\; \in \; -->W}$，定义其长度 ${\displaystyle \mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}(w)}$ 为所有表法 ${\displaystyle w=r_{i_1}\cdots <!--\; \cdots \; -->r_{i_s}(r_j\in <!--\; \in \; -->S)}$ 中最短的 ${\displaystyle s}$。由此可导出

一般而言，两个群展示的同构与否是无法判定的。然而对考克斯特群则有一个简单的判准，称为交换条件。可以透过考克斯特-丹金图分类有限考克斯特群。图的构造方式为：