弹性多面体

弹性多面体是指没有固定边界的多面体，其形状可以在不改变面的形状、不折断或弯曲任何面或边而发生改变。根据柯西刚性定理，在三维以及更高维度的空间中，这种多面体不能是凸的。

最早发现的弹性多面体为布里卡尔八面体（英语：Bricard octahedron）于1897年由拉乌尔·布里卡尔（英语：Raoul Bricard）发现。其与正八面体同构，但存在自相交面，换句话说，其是一种底面不固定形状之反平行四边形的双四角锥。在${\displaystyle {\mathbb{R}}^3}$空间中，不自相交的弹性多面体的例子最早由罗伯特·康奈利（英语：Robert Connelly）于1977年发现，称为康奈利形状。克劳斯·史特芬（德语：Klaus Steffen）也提出了一个弹性多面体，称为史特芬十四面体是目前已知结构最简单的非面自相交的弹性多面体，并且是基于布里卡尔八面体而产生的多面体。

在1970年代后期罗伯特·康奈利（英语：Robert Connelly）和丹尼斯·苏利文提出了波纹管猜想，认为弹性多面体在改变形状的过程体积会维持不变。这个猜想后来被伊扎德·萨比托夫（俄语：Сабитов, Иджад Хакович）以消去理论（英语：Elimination theory）证明了与球同胚的多面体符合此猜想。后来由康奈利、萨比托夫和安克·沃尔兹（Anke Walz）证明了任何由可定向的二维表面构成的多面体都能满足此猜想。该证明过程将皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡提出的四面体体积公式推广为任意多面体的体积公式。该体积公式表明，多面体的体积必为多项式的根，多项式的系数仅取决于多面体的边长。由于边长不会随着多面体的变形过程改变，因此体积必须保持在多项式的有限个根之一，而不会连续变化。

康奈利（英语：Robert Connelly）推测弹性多面体的登不变量（英语：Dehn invariant）在形变过程皆会保持不变。这被称为强波纹管猜想，在2018年被证实后又称为强波纹管定理。由于任意弹性多面体的任一形变形式只要他是同一种弹性多面体体积与登不变量（英语：Dehn invariant）始终保持不变，因此他们可以视为切割全等。这意味着同一种弹性多面体可借由分解成多个小块然后重组成同一种弹性多面体的另一个形变模式。弹性多面体的平均曲率（定义为边长与外二面角的乘积之和）是登不变量（英语：Dehn invariant）的函数，且这个不变量会在弹性多面体形变时保持不变。