在同调代数中,群上同调是一套研究群及其表示的代数工具。群上同调源于代数拓扑,在代数数论上也有重要应用;它是现代类域论的基本构件之一。
群论中的指导思想之一,是研究群
及其表示的关系。群
的表示是
-模的特例:一个
-模是一个阿贝尔群
配上
在
上的群作用
。等价的说法是:
是群环
上的模。通常将
的作用写成乘法
。全体
-模自然地构成一个阿贝尔范畴。
对给定的
-模
,最重要的子群之一是其
-不变子群
若
是一个
-子模(即:是
的子群,且在
的作用下不变),则
上赋有自然的
-模结构,
,但是未必有
。第一个群上同调群
可以设想为两者间差异的某种量度。一般而言,可以定义一族函子
,其间关系可以由长正合序列表示。
以下假设
为有限群,全体
-模构成阿贝尔范畴,其间的态射
定义为满足
的群同态
。由于此范畴等价于
-模范畴,故有充足的内射对象。
函子
是从
-模范畴映至阿贝尔群范畴的左正合函子。定义
为其导函子。根据导函子的一般理论,可知:
在上述定义中,若固定一个域
,并以
代替
,得到的上同调群依然同构。
导出函子的定义来自内射分解,不便于具体计算。然而注意到
,其中
被赋予平凡的
作用:
,故群上同调可以用Ext函子表达为
另一方面,
-模范畴中也有充足的射影对象,若取一
的射影分解
,则有自然的同构
。最自然的分解是标准分解
而
由
给出。
定义
,其元素为形如
的函数,并满足
,称之为齐次上链。根据
在
上的作用,这种
由它在形如
的元素上的取值确定。借此,可将上链复形
描述为
其中的元素称为非齐次上链。
综上所述,得到
。
较常用的上同调是
与
。从标准分解可导出以下的描述:
准此要领,亦有
上述理论有一对偶版本:对于任一
-模
,定义
为形如
的元素生成之子模。考虑从
-模范畴映至阿贝尔群范畴的函子
这是一个右正合函子,其导出函子称为为群同调
。群同调可以藉Tor函子描述为
对于有限群,群同调与群上同调可在塔特上同调群的理论下得到一贯的描述。
将上述定义中的
-模
改成一般的群
(未必交换),并带有
的作用
(称之为
-群)。此时仍然可以定义第零个及第一个群上同调:
须留意
并不是群,而是带有一个指定元素的集合(来自
的单位元),以下所谓的正合性,都应该在此意义下理解。
若
是
-群的短正合序列,则有长正合序列
若
落在
的中心,此序列右端可再加一项
。
若
为群同态,则可将任一
-模透过
视为
-模,此运算导出上同调之间的映射
此映射与群上同调的长正合序列相容。当
是
的子群而
是包含映射,导出的映射称为限制映射,记为 Res。
由于我们假设
为有限群,必有
,此时映射
导出一个上限制映射 
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