群上同调

✍ dations ◷ 2025-11-16 11:00:55 #群论,代数数论,同调代数

在同调代数中，群上同调是一套研究群及其表示的代数工具。群上同调源于代数拓扑，在代数数论上也有重要应用；它是现代类域论的基本构件之一。

群论中的指导思想之一，是研究群 $G {\displaystyle G}$ $G$ 及其表示的关系。群 $G {\displaystyle G}$ $G$ 的表示是 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模的特例：一个 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模是一个阿贝尔群 $M {\displaystyle M}$ $M$ 配上 $G {\displaystyle G}$ $G$ 在 $M {\displaystyle M}$ $M$ 上的群作用 $G\to \mathrm {End} (M)$ $G\to {\mathrm {End}}(M)$ 。等价的说法是： $M {\displaystyle M}$ $M$ 是群环 $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z }$ 上的模。通常将 $G {\displaystyle G}$ $G$ 的作用写成乘法 $m\mapsto gm$ $m\mapsto gm$ 。全体 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模自然地构成一个阿贝尔范畴。

对给定的 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模 $M {\displaystyle M}$ $M$ ，最重要的子群之一是其 $G {\displaystyle G}$ $G$ -不变子群

若 $N\subset M$ $N\subset M$ 是一个 $G {\displaystyle G}$ $G$ -子模（即：是 $M {\displaystyle M}$ $M$ 的子群，且在 $G {\displaystyle G}$ $G$ 的作用下不变），则 $M/N$ $M/N$ 上赋有自然的 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模结构， $N^{G}\subset M^{G}$ $N^{G}\subset M^{G}$ ，但是未必有 $(M/N)^{G}=M^{G}/N^{G}$ $(M/N)^{G}=M^{G}/N^{G}$ 。第一个群上同调群 $H^{1}(G,N)$ $H^{1}(G,N)$ 可以设想为两者间差异的某种量度。一般而言，可以定义一族函子 $H^{n}(G,-)$ $H^{n}(G,-)$ ，其间关系可以由长正合序列表示。

以下假设 $G {\displaystyle G}$ $G$ 为有限群，全体 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模构成阿贝尔范畴，其间的态射 $\mathrm {Hom} _{G}(M,N)$ ${\mathrm {Hom}}_{G}(M,N)$ 定义为满足 $f(gx)=gf(x)$ $f(gx)=gf(x)$ 的群同态 $f:M\to N$ $f:M\to N$ 。由于此范畴等价于 $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z }$ -模范畴，故有充足的内射对象。

函子 $M\to M^{G}$ $M\to M^{G}$ 是从 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模范畴映至阿贝尔群范畴的左正合函子。定义 $H^{n}(G,M)$ $H^{n}(G,M)$ 为其导函子。根据导函子的一般理论，可知：

在上述定义中，若固定一个域 $k {\displaystyle k}$ $k$ ，并以 $k {\displaystyle k}$ $k$ 代替 $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z }$ ，得到的上同调群依然同构。

导出函子的定义来自内射分解，不便于具体计算。然而注意到 $M^{G}=\mathrm {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)$ $M^{G}={\mathrm {Hom}}_{G}(\mathbb{Z } ,M)$ ，其中 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ 被赋予平凡的 $G {\displaystyle G}$ $G$ 作用： $gx=x$ $gx=x$ ，故群上同调可以用Ext函子表达为

另一方面， $G {\displaystyle G}$ $G$ -模范畴中也有充足的射影对象，若取一 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ 的射影分解 $0\leftarrow \mathbb {Z} \leftarrow P_{\bullet }$ $0\leftarrow \mathbb{Z } \leftarrow P_{\bullet }$ ，则有自然的同构 $\mathrm {Ext} ^{i}(\mathbb {Z} ,M)\simeq H^{i}(\mathrm {Hom} (P_{\bullet },M))$ ${\mathrm {Ext}}^{i}(\mathbb{Z } ,M)\simeq H^{i}({\mathrm {Hom}}(P_{\bullet },M))$ 。最自然的分解是标准分解

而 $L_{0}\to \mathbb {Z}$ $L_{0}\to \mathbb{Z }$ 由 $g_{0}\mapsto 1$ $g_{0}\mapsto 1$ 给出。

定义 $K^{i}:=\mathrm {Hom} _{G}(L_{i},M)$ $K^{i}:={\mathrm {Hom}}_{G}(L_{i},M)$ ，其元素为形如 $f:G^{i+1}\mapsto M$ $f:G^{{i+1}}\mapsto M$ 的函数，并满足 $f(gg_{0},\ldots ,gg_{i})=gf(g_{0},\ldots ,g_{i})$ $f(gg_{0},\ldots ,gg_{i})=gf(g_{0},\ldots ,g_{i})$ ，称之为齐次上链。根据 $G {\displaystyle G}$ $G$ 在 $L_{i}$ $L_{i}$ 上的作用，这种 $f {\displaystyle f}$ $f$ 由它在形如 $(e,g_{1},g_{1}g_{2},\ldots ,g_{1}\ldots ,g_{i})$ $(e,g_{1},g_{1}g_{2},\ldots ,g_{1}\ldots ,g_{i})$ 的元素上的取值确定。借此，可将上链复形 $K^{i}$ $K^{i}$ 描述为

其中的元素称为非齐次上链。

综上所述，得到 $H^{i}(K^{\bullet })=H^{i}(G,M)$ $H^{i}(K^{\bullet })=H^{i}(G,M)$ 。

较常用的上同调是 $H^{1}$ $H^{1}$ 与 $H^{2}$ $H^{2}$ 。从标准分解可导出以下的描述：

准此要领，亦有

上述理论有一对偶版本：对于任一 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模 $M {\displaystyle M}$ $M$ ，定义 $D M {\displaystyle DM}$ $DM$ 为形如 $gm-m$ $gm-m$ 的元素生成之子模。考虑从 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模范畴映至阿贝尔群范畴的函子

这是一个右正合函子，其导出函子称为为群同调 $H_{n}(G,M)$ $H_{n}(G,M)$ 。群同调可以藉Tor函子描述为

对于有限群，群同调与群上同调可在塔特上同调群的理论下得到一贯的描述。

将上述定义中的 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模 $M {\displaystyle M}$ $M$ 改成一般的群 $A {\displaystyle A}$ $A$ （未必交换），并带有 $G {\displaystyle G}$ $G$ 的作用 $a\mapsto g(a)$ $a\mapsto g(a)$ （称之为 $G {\displaystyle G}$ $G$ -群）。此时仍然可以定义第零个及第一个群上同调：

须留意 $H^{0}(G,A),H^{1}(G,A)$ $H^{0}(G,A),H^{1}(G,A)$ 并不是群，而是带有一个指定元素的集合（来自 $A {\displaystyle A}$ $A$ 的单位元），以下所谓的正合性，都应该在此意义下理解。

若 $1\to A\to B\to C\to 1$ $1\to A\to B\to C\to 1$ 是 $G {\displaystyle G}$ $G$ -群的短正合序列，则有长正合序列

若 $A {\displaystyle A}$ $A$ 落在 $B {\displaystyle B}$ $B$ 的中心，此序列右端可再加一项 $H^{1}(G,C)\to H^{2}(G,A)$ $H^{1}(G,C)\to H^{2}(G,A)$ 。

若 $f:H\to G$ $f:H\to G$ 为群同态，则可将任一 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模透过 $f {\displaystyle f}$ $f$ 视为 $H {\displaystyle H}$ $H$ -模，此运算导出上同调之间的映射

此映射与群上同调的长正合序列相容。当 $H {\displaystyle H}$ $H$ 是 $G {\displaystyle G}$ $G$ 的子群而 $f {\displaystyle f}$ $f$ 是包含映射，导出的映射称为限制映射，记为 Res。

由于我们假设 $G {\displaystyle G}$ $G$ 为有限群，必有 $(G:H)<\infty$ $(G:H)<\infty$ ，此时映射

导出一个上限制映射 $\mathrm {Cor} :H^{\bullet }(H,M)\to H^{\bullet }(G,M)$

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