群上同调

✍ dations ◷ 2025-10-24 19:48:09 #群论,代数数论,同调代数

在同调代数中，群上同调是一套研究群及其表示的代数工具。群上同调源于代数拓扑，在代数数论上也有重要应用；它是现代类域论的基本构件之一。

群论中的指导思想之一，是研究群 $G {\displaystyle G}$ $G$ 及其表示的关系。群 $G {\displaystyle G}$ $G$ 的表示是 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模的特例：一个 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模是一个阿贝尔群 $M {\displaystyle M}$ $M$ 配上 $G {\displaystyle G}$ $G$ 在 $M {\displaystyle M}$ $M$ 上的群作用 $G\to \mathrm {End} (M)$ $G\to {\mathrm {End}}(M)$ 。等价的说法是： $M {\displaystyle M}$ $M$ 是群环 $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z }$ 上的模。通常将 $G {\displaystyle G}$ $G$ 的作用写成乘法 $m\mapsto gm$ $m\mapsto gm$ 。全体 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模自然地构成一个阿贝尔范畴。

对给定的 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模 $M {\displaystyle M}$ $M$ ，最重要的子群之一是其 $G {\displaystyle G}$ $G$ -不变子群

若 $N\subset M$ $N\subset M$ 是一个 $G {\displaystyle G}$ $G$ -子模（即：是 $M {\displaystyle M}$ $M$ 的子群，且在 $G {\displaystyle G}$ $G$ 的作用下不变），则 $M/N$ $M/N$ 上赋有自然的 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模结构， $N^{G}\subset M^{G}$ $N^{G}\subset M^{G}$ ，但是未必有 $(M/N)^{G}=M^{G}/N^{G}$ $(M/N)^{G}=M^{G}/N^{G}$ 。第一个群上同调群 $H^{1}(G,N)$ $H^{1}(G,N)$ 可以设想为两者间差异的某种量度。一般而言，可以定义一族函子 $H^{n}(G,-)$ $H^{n}(G,-)$ ，其间关系可以由长正合序列表示。

以下假设 $G {\displaystyle G}$ $G$ 为有限群，全体 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模构成阿贝尔范畴，其间的态射 $\mathrm {Hom} _{G}(M,N)$ ${\mathrm {Hom}}_{G}(M,N)$ 定义为满足 $f(gx)=gf(x)$ $f(gx)=gf(x)$ 的群同态 $f:M\to N$ $f:M\to N$ 。由于此范畴等价于 $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z }$ -模范畴，故有充足的内射对象。

函子 $M\to M^{G}$ $M\to M^{G}$ 是从 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模范畴映至阿贝尔群范畴的左正合函子。定义 $H^{n}(G,M)$ $H^{n}(G,M)$ 为其导函子。根据导函子的一般理论，可知：

在上述定义中，若固定一个域 $k {\displaystyle k}$ $k$ ，并以 $k {\displaystyle k}$ $k$ 代替 $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z }$ ，得到的上同调群依然同构。

导出函子的定义来自内射分解，不便于具体计算。然而注意到 $M^{G}=\mathrm {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)$ $M^{G}={\mathrm {Hom}}_{G}(\mathbb{Z } ,M)$ ，其中 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ 被赋予平凡的 $G {\displaystyle G}$ $G$ 作用： $gx=x$ $gx=x$ ，故群上同调可以用Ext函子表达为

另一方面， $G {\displaystyle G}$ $G$ -模范畴中也有充足的射影对象，若取一 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ 的射影分解 $0\leftarrow \mathbb {Z} \leftarrow P_{\bullet }$ $0\leftarrow \mathbb{Z } \leftarrow P_{\bullet }$ ，则有自然的同构 $\mathrm {Ext} ^{i}(\mathbb {Z} ,M)\simeq H^{i}(\mathrm {Hom} (P_{\bullet },M))$ ${\mathrm {Ext}}^{i}(\mathbb{Z } ,M)\simeq H^{i}({\mathrm {Hom}}(P_{\bullet },M))$ 。最自然的分解是标准分解

而 $L_{0}\to \mathbb {Z}$ $L_{0}\to \mathbb{Z }$ 由 $g_{0}\mapsto 1$ $g_{0}\mapsto 1$ 给出。

定义 $K^{i}:=\mathrm {Hom} _{G}(L_{i},M)$ $K^{i}:={\mathrm {Hom}}_{G}(L_{i},M)$ ，其元素为形如 $f:G^{i+1}\mapsto M$ $f:G^{{i+1}}\mapsto M$ 的函数，并满足 $f(gg_{0},\ldots ,gg_{i})=gf(g_{0},\ldots ,g_{i})$ $f(gg_{0},\ldots ,gg_{i})=gf(g_{0},\ldots ,g_{i})$ ，称之为齐次上链。根据 $G {\displaystyle G}$ $G$ 在 $L_{i}$ $L_{i}$ 上的作用，这种 $f {\displaystyle f}$ $f$ 由它在形如 $(e,g_{1},g_{1}g_{2},\ldots ,g_{1}\ldots ,g_{i})$ $(e,g_{1},g_{1}g_{2},\ldots ,g_{1}\ldots ,g_{i})$ 的元素上的取值确定。借此，可将上链复形 $K^{i}$ $K^{i}$ 描述为

其中的元素称为非齐次上链。

综上所述，得到 $H^{i}(K^{\bullet })=H^{i}(G,M)$ $H^{i}(K^{\bullet })=H^{i}(G,M)$ 。

较常用的上同调是 $H^{1}$ $H^{1}$ 与 $H^{2}$ $H^{2}$ 。从标准分解可导出以下的描述：

准此要领，亦有

上述理论有一对偶版本：对于任一 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模 $M {\displaystyle M}$ $M$ ，定义 $D M {\displaystyle DM}$ $DM$ 为形如 $gm-m$ $gm-m$ 的元素生成之子模。考虑从 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模范畴映至阿贝尔群范畴的函子

这是一个右正合函子，其导出函子称为为群同调 $H_{n}(G,M)$ $H_{n}(G,M)$ 。群同调可以藉Tor函子描述为

对于有限群，群同调与群上同调可在塔特上同调群的理论下得到一贯的描述。

将上述定义中的 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模 $M {\displaystyle M}$ $M$ 改成一般的群 $A {\displaystyle A}$ $A$ （未必交换），并带有 $G {\displaystyle G}$ $G$ 的作用 $a\mapsto g(a)$ $a\mapsto g(a)$ （称之为 $G {\displaystyle G}$ $G$ -群）。此时仍然可以定义第零个及第一个群上同调：

须留意 $H^{0}(G,A),H^{1}(G,A)$ $H^{0}(G,A),H^{1}(G,A)$ 并不是群，而是带有一个指定元素的集合（来自 $A {\displaystyle A}$ $A$ 的单位元），以下所谓的正合性，都应该在此意义下理解。

若 $1\to A\to B\to C\to 1$ $1\to A\to B\to C\to 1$ 是 $G {\displaystyle G}$ $G$ -群的短正合序列，则有长正合序列

若 $A {\displaystyle A}$ $A$ 落在 $B {\displaystyle B}$ $B$ 的中心，此序列右端可再加一项 $H^{1}(G,C)\to H^{2}(G,A)$ $H^{1}(G,C)\to H^{2}(G,A)$ 。

若 $f:H\to G$ $f:H\to G$ 为群同态，则可将任一 $G {\displaystyle G}$ $G$ -模透过 $f {\displaystyle f}$ $f$ 视为 $H {\displaystyle H}$ $H$ -模，此运算导出上同调之间的映射

此映射与群上同调的长正合序列相容。当 $H {\displaystyle H}$ $H$ 是 $G {\displaystyle G}$ $G$ 的子群而 $f {\displaystyle f}$ $f$ 是包含映射，导出的映射称为限制映射，记为 Res。

由于我们假设 $G {\displaystyle G}$ $G$ 为有限群，必有 $(G:H)<\infty$ $(G:H)<\infty$ ，此时映射

导出一个上限制映射 $\mathrm {Cor} :H^{\bullet }(H,M)\to H^{\bullet }(G,M)$

相关

供暖暖气狭义上是指一种集中供暖设施。它由管道（即暖气管）将锅炉产生的蒸汽或热水输送到房间或车体内的散热器（即暖气片），散出热量，使室温增高，然后流回锅炉重新加热、循环。有时也将“
皮层大脑皮质（英语：cerebral cortex），又称为大脑灰质，或简称为皮质或皮层，是大脑的一个解剖结构。大脑皮层是端脑的一部分，属于脑和整个神经系统演化史上最为晚出现、功能上最为高阶的
抗艾滋病、结核和疟疾全球基金抗击艾滋病、结核病和疟疾全球基金（英语：The Global Fund to Fight AIDS, Tuberculosis and Malaria），简称“全球基金”（英语：The Global Fund），是一个国际筹资组织，旨在“吸引、利用
中华人民共和国核电站列表中国大陆运行的核电机组共47台，总运行装机容量48751.16MWe。2019年全年中国大陆运行核电机组累计发电量3481.31亿千瓦时，约占全大陆全年累计发电量的4.88%，占第四季度累计发电
鲁斯丹·埃芬迪鲁斯丹·埃芬迪（印尼语：Roestam Effendi，精确拼音：Rustam Effendi，1903年5月13日－1979年5月24日），印度尼西亚作家，印尼第一部现代舞台剧《贝巴沙丽》和诗集《沉思集》的作者，后于1928
台南市下营区下营国民小学台南市下营区下营国民小学位于台湾台南市下营区。
肯塔基德比肯塔基德比（英语：Kentucky Derby）是每年于美国肯塔基州路易斯维尔丘吉尔园马场举行的赛马比赛。通常在五月初举行，是由3岁马角逐1 1⁄4 miles哩（约2012米、10化朗）。2009年赛事总
NX位NX位（全名“No eXecute bit”，即“禁止执行位”，或“执行禁用比特”），是应用在CPU中的一种安全技术。支持NX技术的系统会把内存中的区域分类为只供存储处理器指令集与只供存储数
石桥静河石桥静河（1994年7月8日－），日本女演员、舞者，出身于东京都，所属经纪公司为SUPER TRAMP。她是演员石桥凌（日语：石橋凌）和原田美枝子（日语：原田美枝子）的次女，姐姐石桥优河则是一位创作歌手，
姜顺蛟姜顺蛟（？－？），山阴人，清朝政治人物。拔贡出身。乾隆二年，接替赵锡礼。担任江苏宜兴县知县。后由王熙泰接任。