球对称位势

球对称位势乃是一种只与径向距离有关的位势。许多描述宇宙相互作用的基本位势，像重力势、电势，都是球对称位势。这条目只讲述，在量子力学里，运动于球对称位势中的粒子的量子行为。这量子行为，可以用薛定谔方程表达为

其中，${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$是普朗克常数，${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$是粒子的质量，${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$是粒子的波函数，${\displaystyle V}$是位势，${\displaystyle r}$是径向距离，${\displaystyle E}$是能量。

由于球对称位势${\displaystyle V(r)}$只与径向距离有关，与天顶角${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$、方位角${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$无关，为了便利分析，可以采用球坐标${\displaystyle (r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$来表达这问题的薛定谔方程。然后，使用分离变数法，可以将薛定谔方程分为两部分，径向部分与角部分。

采用球坐标${\displaystyle (r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$，将拉普拉斯算子${\displaystyle {\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2}$展开：

满足薛定谔方程的本征函数${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$的形式为：

其中，${\displaystyle R(r)}$，${\displaystyle \mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$，${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$，都是函数。${\displaystyle \mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$与${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$时常会合并为一个函数，称为球谐函数，${\displaystyle Y_{lm}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})=\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$。这样，本征函数${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$的形式变为：

参数为天顶角${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$、方位角${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$的球谐函数${\displaystyle Y_{lm}}$，满足角部分方程

其中，非负整数${\displaystyle l}$是角动量的角量子数。${\displaystyle m}$（满足${\displaystyle -<!--\; -\; -->l\le <!--\; \le \; -->m\le <!--\; \le \; -->l}$）是角动量对于z-轴的（量子化的）投影。不同的${\displaystyle l}$与${\displaystyle m}$给予不同的球谐函数解答${\displaystyle Y_{lm}}$：

其中，${\displaystyle i}$是虚数单位，${\displaystyle P_{lm}(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$是伴随勒让德多项式，用方程定义为

而${\displaystyle P_l(x)}$是${\displaystyle l}$阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为

将角部分解答代入薛定谔方程，则可得到一个一维的二阶微分方程：

设定函数${\displaystyle u(r)=rR(r)}$。代入方程(1)。经过一番繁杂的运算，可以得到

径向方程变为

其中，有效位势${\displaystyle V_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(r)=V(r)+\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^{2}l(l+1)}{2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{r}^2}}$。

这正是函数为${\displaystyle u(r)}$，有效位势为${\displaystyle V_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}}$的薛定谔方程。径向距离${\displaystyle r}$的定义域是从${\displaystyle 0}$到${\displaystyle \mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$。新加入有效位势的项目，称为离心位势。

为了要更进一步解析方程(2)，必须知道位势的形式。不同的位势有不同的解答。

在这里，有四个很特别、很重要的实例。这些实例都有一个共同点，那就是，它们的位势都是球对称的。因此，它们的角部分解答都是球谐函数。这四个实例是：

思考${\displaystyle V(r)=0}$的状况，设定${\displaystyle k\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\frac{2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}E}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}}}$，在设定无量纲的变数

代入方程(2)，定义${\displaystyle J(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}R(r)}$，就会得到贝塞尔方程，一个二阶常微分方程：

贝塞尔方程的解答是第一类贝塞尔函数${\displaystyle J_{l+1/2}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})}$；而${\displaystyle R(r)}$是第一类球贝塞尔函数
（真空解的边界条件要求原点的函数值有限，因此在原点趋于无穷的第二类球贝塞尔函数项的系数必须为零）：

在真空里，一个粒子的薛定谔方程（即自由空间中的齐次亥姆霍兹方程）的解，以球坐标来表达，是球贝塞尔函数与球谐函数的乘积：

其中，归一常数${\displaystyle A_{kl}=\sqrt{\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}k}$，${\displaystyle l}$是非负整数，${\displaystyle m}$是整数，${\displaystyle -<!--\; -\; -->l\le <!--\; \le \; -->m\le <!--\; \le \; -->l}$，${\displaystyle k}$是实数，${\displaystyle k\ge <!--\; \ge \; -->0}$。

这些解答都是角动量确定态的波函数。这些确定态都有明确的角动量。

波函数的角部分已经归一化，剩下来必须将径向部分归一化。径向函数的归一化条件为

根据球贝塞尔函数的封闭方程，

其中，${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>0}$，${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_k}$为克罗内克δ。

所以，${\displaystyle 1=A_{kl}^2\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2k^2}}$。取平方根，归一常数${\displaystyle A_{kl}=\sqrt{\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}k}$。

思考一个球对称的无限深方形阱，阱内位势为0，阱外位势为无限大。用方程表达：

其中，${\displaystyle r_0}$是球对称阱的半径。

立刻，可以察觉，阱外的波函数是0；而由于阱内的薛定谔方程与真空状况的薛定谔方程相同，波函数是球贝塞尔函数${\displaystyle R(r)=j_l(kr)}$。为了满足边界条件，波函数必须是连续的。匹配阱内与阱外的波函数，球贝塞尔函数在径向坐标${\displaystyle r=r_0}$之处必须等于0：

设定${\displaystyle {\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{nl}}$为${\displaystyle l}$阶球贝塞尔函数${\displaystyle j_l}$的第${\displaystyle n}$个0点，则${\displaystyle k_{nl}{r}_0={\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{nl}}$。

那么，离散的能级${\displaystyle E_{nl}}$为

薛定谔方程的整个解答是

其中，归一常数${\displaystyle A_{nl}={\left(\frac{2}{r_0^3}\right)}^{1/2}\frac{1}{j_{l+1}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{nl})}}$。

波函数的角部分已经归一化，剩下来必须将径向部分归一化。径向函数的归一化条件为

将球贝塞尔函数与第一类贝塞尔函数的关系方程(4)代入积分：

设定变数${\displaystyle x=r/r_0}$，代入积分：

根据贝塞尔函数的正交归一性方程，

其中，${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>-<!--\; -\; -->1}$，${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{mn}}$为克罗内克δ，${\displaystyle {\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{n\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$表示${\displaystyle J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)}$的第${\displaystyle n}$个0点。

注意到${\displaystyle j_l(x)}$的第${\displaystyle n}$个0点${\displaystyle {\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{nl}}$也是${\displaystyle J_{l+1/2}(x)}$的第${\displaystyle n}$个0点。所以，

取平方根，归一常数${\displaystyle A_{nl}={\left(\frac{2}{r_0^3}\right)}^{1/2}\frac{1}{j_{l+1}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{nl})}}$。

三维均向谐振子的位势为

其中，${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$是角频率。

用阶梯算符的方法，可以证明N维谐振子的能量是

所以，三维均向谐振子的径向薛定谔方程是

设定常数${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$，

回想

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