球对称位势

球对称位势乃是一种只与径向距离有关的位势。许多描述宇宙相互作用的基本位势，像重力势、电势，都是球对称位势。这条目只讲述，在量子力学里，运动于球对称位势中的粒子的量子行为。这量子行为，可以用薛定谔方程表达为

其中，${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$是普朗克常数，${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$是粒子的质量，${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$是粒子的波函数，${\displaystyle V}$是位势，${\displaystyle r}$是径向距离，${\displaystyle E}$是能量。

由于球对称位势${\displaystyle V(r)}$只与径向距离有关，与天顶角${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$、方位角${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$无关，为了便利分析，可以采用球坐标${\displaystyle (r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$来表达这问题的薛定谔方程。然后，使用分离变数法，可以将薛定谔方程分为两部分，径向部分与角部分。

采用球坐标${\displaystyle (r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$，将拉普拉斯算子${\displaystyle {\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2}$展开：

满足薛定谔方程的本征函数${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$的形式为：

其中，${\displaystyle R(r)}$，${\displaystyle \mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$，${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$，都是函数。${\displaystyle \mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$与${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$时常会合并为一个函数，称为球谐函数，${\displaystyle Y_{lm}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})=\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$。这样，本征函数${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$的形式变为：

参数为天顶角${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$、方位角${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$的球谐函数${\displaystyle Y_{lm}}$，满足角部分方程

其中，非负整数${\displaystyle l}$是角动量的角量子数。${\displaystyle m}$（满足${\displaystyle -<!--\; -\; -->l\le <!--\; \le \; -->m\le <!--\; \le \; -->l}$）是角动量对于z-轴的（量子化的）投影。不同的${\displaystyle l}$与${\displaystyle m}$给予不同的球谐函数解答${\displaystyle Y_{lm}}$：

其中，${\displaystyle i}$是虚数单位，${\displaystyle P_{lm}(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$是伴随勒让德多项式，用方程定义为

而${\displaystyle P_l(x)}$是${\displaystyle l}$阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为

将角部分解答代入薛定谔方程，则可得到一个一维的二阶微分方程：

设定函数${\displaystyle u(r)=rR(r)}$。代入方程(1)。经过一番繁杂的运算，可以得到

径向方程变为

其中，有效位势${\displaystyle V_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(r)=V(r)+\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^{2}l(l+1)}{2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{r}^2}}$。

这正是函数为${\displaystyle u(r)}$，有效位势为${\displaystyle V_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}}$的薛定谔方程。径向距离${\displaystyle r}$的定义域是从${\displaystyle 0}$到${\displaystyle \mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$。新加入有效位势的项目，称为离心位势。

为了要更进一步解析方程(2)，必须知道位势的形式。不同的位势有不同的解答。

在这里，有四个很特别、很重要的实例。这些实例都有一个共同点，那就是，它们的位势都是球对称的。因此，它们的角部分解答都是球谐函数。这四个实例是：

思考${\displaystyle V(r)=0}$的状况，设定${\displaystyle k\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\frac{2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}E}{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}}}$，在设定无量纲的变数

代入方程(2)，定义${\displaystyle J(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}R(r)}$，就会得到贝塞尔方程，一个二阶常微分方程：

贝塞尔方程的解答是第一类贝塞尔函数${\displaystyle J_{l+1/2}(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})}$；而${\displaystyle R(r)}$是第一类球贝塞尔函数
（真空解的边界条件要求原点的函数值有限，因此在原点趋于无穷的第二类球贝塞尔函数项的系数必须为零）：

在真空里，一个粒子的薛定谔方程（即自由空间中的齐次亥姆霍兹方程）的解，以球坐标来表达，是球贝塞尔函数与球谐函数的乘积：

其中，归一常数${\displaystyle A_{kl}=\sqrt{\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}k}$，${\displaystyle l}$是非负整数，${\displaystyle m}$是整数，${\displaystyle -<!--\; -\; -->l\le <!--\; \le \; -->m\le <!--\; \le \; -->l}$，${\displaystyle k}$是实数，${\displaystyle k\ge <!--\; \ge \; -->0}$。

这些解答都是角动量确定态的波函数。这些确定态都有明确的角动量。

波函数的角部分已经归一化，剩下来必须将径向部分归一化。径向函数的归一化条件为

根据球贝塞尔函数的封闭方程，

其中，${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>0}$，${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_k}$为克罗内克δ。

所以，${\displaystyle 1=A_{kl}^2\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2k^2}}$。取平方根，归一常数${\displaystyle A_{kl}=\sqrt{\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}k}$。

思考一个球对称的无限深方形阱，阱内位势为0，阱外位势为无限大。用方程表达：

其中，${\displaystyle r_0}$是球对称阱的半径。

立刻，可以察觉，阱外的波函数是0；而由于阱内的薛定谔方程与真空状况的薛定谔方程相同，波函数是球贝塞尔函数${\displaystyle R(r)=j_l(kr)}$。为了满足边界条件，波函数必须是连续的。匹配阱内与阱外的波函数，球贝塞尔函数在径向坐标${\displaystyle r=r_0}$之处必须等于0：

设定${\displaystyle {\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{nl}}$为${\displaystyle l}$阶球贝塞尔函数${\displaystyle j_l}$的第${\displaystyle n}$个0点，则${\displaystyle k_{nl}{r}_0={\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{nl}}$。

那么，离散的能级${\displaystyle E_{nl}}$为

薛定谔方程的整个解答是

其中，归一常数${\displaystyle A_{nl}={\left(\frac{2}{r_0^3}\right)}^{1/2}\frac{1}{j_{l+1}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{nl})}}$。

波函数的角部分已经归一化，剩下来必须将径向部分归一化。径向函数的归一化条件为

将球贝塞尔函数与第一类贝塞尔函数的关系方程(4)代入积分：

设定变数${\displaystyle x=r/r_0}$，代入积分：

根据贝塞尔函数的正交归一性方程，

其中，${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>-<!--\; -\; -->1}$，${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{mn}}$为克罗内克δ，${\displaystyle {\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{n\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$表示${\displaystyle J_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)}$的第${\displaystyle n}$个0点。

注意到${\displaystyle j_l(x)}$的第${\displaystyle n}$个0点${\displaystyle {\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{nl}}$也是${\displaystyle J_{l+1/2}(x)}$的第${\displaystyle n}$个0点。所以，

取平方根，归一常数${\displaystyle A_{nl}={\left(\frac{2}{r_0^3}\right)}^{1/2}\frac{1}{j_{l+1}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{nl})}}$。

三维均向谐振子的位势为

其中，${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$是角频率。

用阶梯算符的方法，可以证明N维谐振子的能量是

所以，三维均向谐振子的径向薛定谔方程是

设定常数${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$，

回想

相关

• 过敏性结膜炎变应性结膜炎（英语：allergic conjunctivitis，亦称为过敏性结膜炎或变态反应性结膜炎）是结膜的过敏性炎症，虽然症状可能非常明显，但通常不会致盲。在发达国家，估计过敏性结膜炎的患
• 脊髓病脊髓病变意味着任何与脊髓有关的神经功能缺损均可以称之 。如果这个脊髓病变与创伤有关系，又可以称为脊髓损伤；相对地，如果是发炎所造成的脊髓病变，就可以称之为脊髓炎；最后，如果
• 世宗市坐标：36°29′13″N 127°16′56″E / 36.487002°N 127.282234°E / 36.487002; 127.282234世宗特别自治市（韩语：세종특별자치시／世宗特別自治市 Sejong teukbyeol jachisi），简
• 1631年夏完淳（1631～1647）,明末著名诗人，少年抗清英雄，民族英雄.
• 罗斯福岛坐标：40°45′43″N 73°57′00″W / 40.761927°N 73.950093°W / 40.761927; -73.950093罗斯福岛（英语：Roosevelt Island）是位于美国纽约市东河上的狭长岛屿，介于曼哈顿东侧与
• 天文物理期刊天文物理期刊（The Astrophysical Journal）是在天文学及天体物理学领域重要的研究期刊，于1895年创刊，至2008年底都由美国芝加哥大学出版社发行；2009年1月起改由英国物理学会出版社
• 班诺克面包班诺克面包（英语：Bannock）是在美国和苏格兰一种由任何大圆形平底锅烘烤的快速面包，当一个圆形的班诺克切片时，通常即称司康饼。然而在苏格兰，班诺克和司康饼的词经常交替使用。
• 中国人民武装警察部队济南指挥学院中国人民武装警察部队济南指挥学院，简称武警济南指挥学院，是曾经存在的一所武警部队初级指挥干部军事高等院校，隶属武警山东总队，为正师级单位。现已撤销，改建为训练基地。学院培
• 元和体元和体，狭义而言，指的是唐代宪宗元和年间，元稹与白居易所创的元白体，广义而言，指的是元稹、白居易、韩愈、樊宗师、张籍、孟郊等人的文风。李肇《唐国史补》卷下：“元和以后，为文笔
• 龙之吻《龙之吻》（），是一部2001年法美合制的动作片，由动作影星李连杰主演，编剧是吕克·贝松，导演是克里斯·纳昂。中国特工李健（李连杰饰）赴巴黎，偕同法国警方监视中国毒贩，但是他发现法国警