窗函数

✍ dations ◷ 2025-04-26 12:57:55 #统计学,傅里叶分析,信号处理,数字信号处理,函数

在信号处理中，窗函数（英语：window function）是一种除在给定区间之外取值均为0的实函数。譬如：在给定区间内为常数而在区间外为0的窗函数被形象地称为矩形窗。任何函数与窗函数之积仍为窗函数，所以相乘的结果就像透过窗口“看”其他函数一样。窗函数在频谱分析、滤波器设计、波束形成、以及音频数据压缩（如在Ogg Vorbis音频格式中）等方面有广泛的应用。

从理论上可以得出函数 $\cos(\omega t)\,$ 下，将产生最小可能的方均根频率宽度，并最佳化方均根时频带宽的乘积。

近似受限高斯窗，在给定时间宽度 N 下，可由下方的式子进一步近似：

其中 Gaussian 定义为:

当 $a_{0}=0.53836$ − 1) 处产生零交会处(zero-crossing)，使原先Hann窗的第一个旁瓣(sidelobe)可以被大幅消除，产生只有Hann窗 1/5 高度的旁瓣。

根据一般习惯，Blackman窗所设定的数值并非完全精确( = 0.16, ₀ = 0.42, ₁ = 0.5, ₂ = 0.08)，而是近似于精确Blackman的数值(₀ = 7938/18608 ≈ 0.42659, ₁ = 9240/18608 ≈ 0.49656, ₂ = 1430/18608 ≈ 0.076849)。

如此的数值设定，其用意是在第三个及第四个旁瓣位置产生零交会处(zero-crossing)。

当我们考虑为一实数，Nuttall窗函数及其一次导数在任意处皆为连续，且当时的数值为 0，而Blackman-Nuttall窗及Blackman-Harris窗，在处则有一微小的正值。

Blackman-Harris窗是Hamming窗家族的一般化，借由加上更多位移sinc函数而产生，并能够减低旁瓣的影响。

平顶窗在部分区域为负值，并且在频域中具有较小的扇形损失。该特性有利于测量正弦频率分量，但具有较低频率精准度以及高噪声频带等缺点。我们可以利用低通滤波器的设计方法产生平顶窗函数。

正弦窗有时也称作余弦窗，因为其函数可同时由正弦或余弦函数的方式表示。

正弦窗的自相关函数可产生波曼窗(Bohman window)。

此类别的窗具有以下形式：

矩形窗( = 0)、正弦窗、以及Hann窗( = 2)皆属于这类窗的一员。

${\begin{aligned}W_{0}(k)&={\frac {\cos\{N\cos ^{-1}\}}{\cosh}}\\\beta &=\cosh,\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}W_{0}(k)&={\frac {\cos\{N\cos ^{{-1}}\}}{\cosh}}\\\beta &=\cosh,\end{aligned}}$

α参数控制了窗口的尖细程度，α也是旁瓣准尉的对数，因此α=2.0表示比主瓣低了两个度(decades)或是-40dB。窗口的特征是主瓣的背景泄漏在转换后的输出唯一常数振福。对一个已给定泄漏等级，当主瓣的宽度为最小时，这个窗口是最佳化。另外优点在于，当只有小数目输入讯号取样点时，可用来做小转换，这个窗口在主瓣附近提供很好的能见度。

Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2018.

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