窗函数

✍ dations ◷ 2025-11-30 10:52:49 #统计学,傅里叶分析,信号处理,数字信号处理,函数

在信号处理中，窗函数（英语：window function）是一种除在给定区间之外取值均为0的实函数。譬如：在给定区间内为常数而在区间外为0的窗函数被形象地称为矩形窗。任何函数与窗函数之积仍为窗函数，所以相乘的结果就像透过窗口“看”其他函数一样。窗函数在频谱分析、滤波器设计、波束形成、以及音频数据压缩（如在Ogg Vorbis音频格式中）等方面有广泛的应用。

从理论上可以得出函数 $\cos(\omega t)\,$ 下，将产生最小可能的方均根频率宽度，并最佳化方均根时频带宽的乘积。

近似受限高斯窗，在给定时间宽度 N 下，可由下方的式子进一步近似：

其中 Gaussian 定义为:

当 $a_{0}=0.53836$ − 1) 处产生零交会处(zero-crossing)，使原先Hann窗的第一个旁瓣(sidelobe)可以被大幅消除，产生只有Hann窗 1/5 高度的旁瓣。

根据一般习惯，Blackman窗所设定的数值并非完全精确( = 0.16, ₀ = 0.42, ₁ = 0.5, ₂ = 0.08)，而是近似于精确Blackman的数值(₀ = 7938/18608 ≈ 0.42659, ₁ = 9240/18608 ≈ 0.49656, ₂ = 1430/18608 ≈ 0.076849)。

如此的数值设定，其用意是在第三个及第四个旁瓣位置产生零交会处(zero-crossing)。

当我们考虑为一实数，Nuttall窗函数及其一次导数在任意处皆为连续，且当时的数值为 0，而Blackman-Nuttall窗及Blackman-Harris窗，在处则有一微小的正值。

Blackman-Harris窗是Hamming窗家族的一般化，借由加上更多位移sinc函数而产生，并能够减低旁瓣的影响。

平顶窗在部分区域为负值，并且在频域中具有较小的扇形损失。该特性有利于测量正弦频率分量，但具有较低频率精准度以及高噪声频带等缺点。我们可以利用低通滤波器的设计方法产生平顶窗函数。

正弦窗有时也称作余弦窗，因为其函数可同时由正弦或余弦函数的方式表示。

正弦窗的自相关函数可产生波曼窗(Bohman window)。

此类别的窗具有以下形式：

矩形窗( = 0)、正弦窗、以及Hann窗( = 2)皆属于这类窗的一员。

${\begin{aligned}W_{0}(k)&={\frac {\cos\{N\cos ^{-1}\}}{\cosh}}\\\beta &=\cosh,\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}W_{0}(k)&={\frac {\cos\{N\cos ^{{-1}}\}}{\cosh}}\\\beta &=\cosh,\end{aligned}}$

α参数控制了窗口的尖细程度，α也是旁瓣准尉的对数，因此α=2.0表示比主瓣低了两个度(decades)或是-40dB。窗口的特征是主瓣的背景泄漏在转换后的输出唯一常数振福。对一个已给定泄漏等级，当主瓣的宽度为最小时，这个窗口是最佳化。另外优点在于，当只有小数目输入讯号取样点时，可用来做小转换，这个窗口在主瓣附近提供很好的能见度。

Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2018.

相关

非线性声学非线性声学与线性声学相对，研究的是声波在运动非线性和介质非线性无法忽略的情况下的声学现象。在非线性声学中，会出现许多新现象。
柏林-勃兰登堡广播公司柏林-勃兰登堡广播公司（德语：Rundfunk Berlin-Brandenburg）是位于德国柏林的一个公共广播电视公司，也是德国公共广播联盟的九个加盟公司之一。播出地区是柏林州和勃兰登堡州。
耶输陀罗耶输陀罗（梵语：यशोधरा Yaśodharā；巴利语：Yasodharā），又译为耶输多罗、耶惟檀，意思是作持誉、持称、俱称、华（花）色，谓其相貌美丽如花，一切美誉美德具足持有；释迦牟尼佛（悉达多太
裴祥风裴祥风（越南语：Bùi Tường Phong, 1942年12月14日－1975年7月），美国电脑图学研究学者，于越南出生。他于1973年在尤他大学取得博士学位，并发明了Phong反射模型及Phong着色法，并广为C
艾米丽·菲茨森拉德艾米丽·菲茨森拉德（英语：Emily FitzGerald，1731年10月6日－1814年3月27日），伦斯特公爵夫人，在她1747年出嫁之前是艾米丽·伦斯诺克小姐。里奇蒙公爵的第二个女儿，著名的伦斯诺克四姐
周口市第一高级中学周口市第一高级中学，简称周口一高，是河南省周口市一所高级中学，系河南省首批示范性高中。学校始建于1959年，前身为商水县第一高级中学。2001年改为现名。学校分东、西两个校区。
鱼尾椰子鱼尾椰子（学名：），为棕榈科茶马椰子属下之常绿小灌木。原生于墨西哥、危地马拉，1967 年引进台湾，成为深受喜爱的观叶植物。鱼尾椰子又名玲珑椰子、金光茶马椰子、金光竹节椰。这些
高晓声高晓声（1928年7月6日－1999年7月6日），江苏武进人，中国小说家。童年时代在农村度过，其父是知识分子，因而能够接触文学。14岁丧母，家境清贫，中学阶段屡次因付不起学费而辍学。后来进入上
多桑 (电影)《多桑》（英语：）是一部于1994年上映的台湾电影，由吴念真担任导演兼编剧，并由蔡振南、蔡秋凤主演，本片为台湾新浪潮电影作品之一。多桑在暴风雨夜去世时，只有六十二岁。他死于医院，他
渡边三男渡边三男（1953年6月4日－），日本足球运动员，前日本国家足球队成员。从1974年到1979年，他共为日本国家足球队出场28次，打进4球。