动力系统

✍ dations ◷ 2025-12-08 23:16:21 #动力系统

动力系统（dynamical system）是数学上的一个概念。动力系统是一种固定的规则，它描述一个给定空间（如某个物理系统的状态空间）中所有点随时间的变化情况。例如描述钟摆晃动、管道中水的流动，或者湖中每年春季鱼类的数量，凡此等等的数学模型都是动力系统。在动力系统中有所谓状态的概念，状态是一组可以被确定下来的实数。状态的微小变动对应这组实数的微小变动。这组实数也是一种流形的几何空间坐标。动力系统的演化规则是一组函数的固定规则，它描述未来状态如何依赖于当前状态的。这种规则是确定性的，即对于给定的时间间隔内，从现在的状态只能演化出一个未来的状态。若只是在一系列不连续的时间点考察系统的状态，则这个动力系统为离散动力系统；若时间连续，就得到一个连续动力系统。如果系统以一种连续可微的方式依赖于时间，我们就称它为一个光滑动力系统。许多人视法国数学家及物理学家庞加莱为动力系统的创始者。他发行了两份现在被誉为经典的专著：天体力学的新方法《天体力学的新方法》（New Methods of Celestial Mechanics，1892–1899）、《天体力学讲义》（Lectures on Celestial Mechanics，1905–1910）。专著中，他成功将研究结果应用在三体问题，并详细研究其状态（频率，稳定性等）。作品中也包含庞加莱递推定理（Poincaré recurrence theorem），该定理指出某些系统在经过足够长但有限的时间之后，将返回到非常接近初始状态的状态。俄罗斯数学家李亚普诺夫发展许多重要的近似方法。他在1899年发展出的方法，使得定义常微分方程组的稳定性是可行的。他也创造了动力系统稳定性的现代理论。美国数学家伯克霍夫在1913年证明了庞加莱的最终几何定理（Last Geometric Theorem），一个三体问题的特殊形况。在1927年，他则发行了《动力系统》（Dynamical Systems）。在1931年，伯克霍夫发现了最使他名留青史的结果，现在称作遍历定理。美国数学家斯梅尔也对动力系统作出重大贡献。他的贡献马蹄映射推动了动力系统重要研究，此外他还勾划出研究计划，让很多研究者实行。乌克兰数学家Sharkovsky（英语：Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky）在1964年给出关于离散动力系统的Sharkovsky's定理（英语：Sharkovsky's theorem），此定理的一个含义是，如果实数轴上的离散动力系统具有周期为3的周期点，那么它必定具有任意周期的周期点。Works providing a broad coverage:Introductory texts with a unique perspective:TextbooksPopularizations:

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