矩阵函数

数学上讲，矩阵函数是把矩阵映射到另一个矩阵的函数。

如果实值函数 f具有泰勒展开

那么矩阵函数可以通过用矩阵替换自变量${\displaystyle x}$得到：指数运算变成矩阵指数，加法变成矩阵和，与标量系数的乘法变成矩阵和标量的乘法。如果实级数在时收敛，那么其对应的关于${\displaystyle A}$的矩阵级数也将收敛，如果在某个满足${\displaystyle \Vert <!--\; \Vert \; -->AB\Vert <!--\; \Vert \; -->\le <!--\; \le \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->A\Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->B\Vert <!--\; \Vert \; -->}$的矩阵范数${\displaystyle \Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->}$上满足。

如果矩阵${\displaystyle A}$是可对角化矩阵，则结果可以简化为一个由各个特征值的函数值构成的矩阵。换句话说，假设我们可以找到矩阵${\displaystyle P}$和对角阵${\displaystyle D}$，使得${\displaystyle A=P\cdot <!--\; \cdot \; -->D\cdot <!--\; \cdot \; -->P^{-<!--\; -\; -->1}}$，那么把指数级数的定义用到这个分解上，我们可以得到

其中${\displaystyle d_1,\dots <!--\; \dots \; -->,d_n}$表示${\displaystyle D}$的对角元素。