李善兰恒等式

✍ dations ◷ 2025-04-03 11:43:04 #代数小作品,中国数学史,组合数学,数学恒等式

李善兰恒等式为组合数学中的一个恒等式,由中国清代数学家李善兰于1859年在《垛积比类》一书中首次提出,因此得名。

有幂级数和概率两种证明方法。

( n + k k ) 2 = j = 0 k ( k j ) 2 ( n + 2 k j 2 k ) {\displaystyle {\binom {n+k}{k}}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}}

其中 ( k l ) = k ! l ! ( k l ) ! {\displaystyle {\binom {k}{l}}={\frac {k!}{l!(k-l)!}}}

李善兰恒等式是Saalschütz's theorem(英语:Generalized hypergeometric function#Saalschütz's theorem)的一个整数特例。

3 F 2 ( a , b , n ; c , 1 + a + b c n ; 1 ) = ( c a ) n ( c b ) n ( c ) n ( c a b ) n . {\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.}

j = 0 k ( k j ) 2 ( n + 2 k j 2 k ) = ( n + 2 k ) ! ( 2 k ) ! n ! j = 0 ( k ) ( j ) ( k ) ( j ) ( n ) ( j ) ( 1 ) ( j ) ( n 2 k ) ( j ) j ! = ( n + 2 k ) ! ( 2 k ) ! n ! 3 F 2 ( k , k , n ; 1 , n 2 k ; 1 ) {\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}={\frac {(n+2k)!}{(2k)!n!}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-k)^{(j)}(-k)^{(j)}(-n)^{(j)}}{(1)^{(j)}(-n-2k)^{(j)}j!}}={\frac {(n+2k)!}{(2k)!n!}}{}_{3}F_{2}(-k,-k,-n;1,-n-2k;1)}

= ( n + 2 k ) ! ( 1 + k ) n ( 1 + k ) n ( 2 k ) ! n ! ( 1 ) n ( 1 + 2 k ) n = ( n + 2 k ) ! ( n + k ) ! ( n + k ) ! ( 2 k ) ! ( 2 k ) ! n ! k ! k ! n ! ( n + 2 k ) ! = ( n + k k ) 2 {\displaystyle ={\frac {(n+2k)!(1+k)_{n}(1+k)_{n}}{(2k)!n!(1)_{n}(1+2k)_{n}}}={\frac {(n+2k)!(n+k)!(n+k)!(2k)!}{(2k)!n!k!k!n!(n+2k)!}}={\binom {n+k}{k}}^{2}}


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