1 − 2 + 3 − 4 + …

在数学中，1 − 2 + 3 − 4 + …表示以由小到大的接续正整数，依次加后又减、减后又加，如此反复所构成的无穷级数。它是交错级数，若以Σ符号表示前项之和，可写作：

此无穷级数发散，即其部分和的序列（1, −1, 2, −2, …）不会趋近于任一有穷极限。也就是说，单从极限的角度看的话，1 − 2 + 3 − 4 + …不存在和。不过，在18世纪中期，莱昂哈德·欧拉写出了一个他承认为悖论的等式：

该等式的严谨解释在很久以后才出现。自1890年起，恩纳斯托·切萨罗、埃米尔·博雷尔与其他一些数学家就在研究有哪些定义良好的方法，可以给发散级数赋予广义和——其中包含了对欧拉结果的新解释。这些求和法大部分可简单地指定1 − 2 + 3 − 4 + …的“和”为1⁄₄。切萨罗求和是少数几种不能计算出1 − 2 + 3 − 4 + …之和的方法，因为此级数求和需要某个略强的方法——譬如阿贝耳求和。

级数1 − 2 + 3 − 4 + …与格兰迪级数1 − 1 + 1 − 1 + …有紧密的联系。欧拉将这两个级数当作1 − 2 + 3 − 4 + …的特例（其中n为任意自然数），这个级数既直接扩展了他在巴塞尔问题上所做的工作，同时也引出了我们现在所知的狄利克雷η函数和黎曼ζ函数。

级数项（1, −2, 3, −4, …）不趋近于0，因此通过项测试便可确定1 − 2 + 3 − 4 + …发散。不过作为后文的参考，此处也以基础的方法去证明此级数发散。首先，从定义可知，无穷级数的敛散性是由其部分和的敛散性所确定的，1 − 2 + 3 − 4 + …的部分和为：

此部分和序列的一个显著特点是每个整数都恰好出现一次——如果将空部分和计入还包括0——因此它还说明了整数集${\displaystyle \mathbb{Z}}$ = 1 − 2 + 3 − 4 + …这样的写法有意义——其中的为常数，那么以下的计算将说明 = 1⁄₄：

因此， = 1⁄₄，如右图所示。

尽管1 − 2 + 3 − 4 + …没有通常意义的和，等式 = 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1⁄₄却可被赋予另外一种意义。发散级数之“和”的一种普遍定义被称为一种求和法或可和法——通常是对于符合特定条件的一类级数可求和。求和法有许多种（部分将在下文中有所描述），这些方法跟普通求和也许有着一些共同的特性，例如：

因此，以上的计算实际上证明的是下面的内容：给出任意的线性且稳定的可和法，并能对级数1 − 2 + 3 − 4 + …求和，则结果必为1⁄₄。此外，由于：

故此方法也一定能对格兰迪级数求和，并得结果为${\displaystyle 1-<!--\; -\; -->1+1-<!--\; -\; -->1+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}}$= Σ= Σ(−1)，柯西乘积的项由有穷对角线求和的方式给出：

积级数为：

所以，如果有一种求和法可以保持两个级数的柯西乘积，并能得出${\displaystyle 1-<!--\; -\; -->1+1-<!--\; -\; -->1+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\frac{1}{2}}$)法的序列，其中为自然数。(H, 1)和为切萨罗求和，更高的方法则重复平均值的计算。在上文中，偶数项平均值趋近于1⁄₂，奇数项平均值则全部等于0，所以平均值平均值趋近于 0 与1⁄₂的平均数，即1⁄₄。因此，1 − 2 + 3 − 4 + …是(H, 2)-可求和，其值为1⁄₄。

符号“H”代表奥图·赫尔德。1882年，他第一次证明了被现在数学家们所看作的在阿贝耳求和与(H, )求和之间的关系；-1 + 2 − 3 + 4 − …是他给的第一个例子。1⁄₄是1 − 2 + 3 − 4 + …的(H, 2)和这个事实也保证了它是阿贝耳和；这些都将在下文直接予以证明。

另外一个常用的切萨罗求和的广义化，是(C, )法的序列。已经证明了(C, )求和与(H, )求和均能给出相同的结果，但是它们却有不同的历史背景。在1887年，切萨罗已经接近于陈述出(C, )求和的定义了，但是他只给出了少量的例子。特别的，他在计算1 − 2 + 3 − 4 + …为1⁄₄时所采用的方法可能是(C, )的另一种描述，但是在当时并没有对其进行证明。他在1890年正式定义了(C, )法，以陈述他的定理：一个(C, )-可求和级数与一个(C, )-可求和级数的柯西乘积是(C, + + 1)-可求和。

在一份1749年的报告中，莱昂哈德·欧拉承认级数1 − 2 + 3 − 4 + …是发散的，但还是决定要对其求和：

欧拉曾几次提议将“和”这个词广义化。在1 − 2 + 3 − 4 + …的情况下，他的设想与现在所知的阿贝耳求和相似：

至少在当绝对值 || < 1 时，有许多方式去验证欧拉的下列等式正确：

可以对右边作泰勒展开，或使用正规的多项式长除。从左方开始，可采用上文的一般启发式，并尝试乘以两次(1+)，或对几何级数1 − + 2 − …求平方。欧拉似乎也提出可以对后者级数的每项求导。

以现代的观点看，级数 1 − 2 + 32 − 43 + … 并没有定义一个在 = 1时的函数，因此不能简单地把值代入到其相应的表达式。不过由于此级数在|| < 1时定义了一个函数，所以仍可取趋近于1时的极限，而这就是阿贝耳和的定义：

欧拉对该级数还使用了另外一种技巧：欧拉变换，这是他自己的发明。要计算欧拉变换，首先要有可形成交错级数的正项序列——在此情况下为1, 2, 3, 4, …。将此序列中的首项标示为 ₀。

下一步需要1, 2, 3, 4, …的前向差分序列；这恰好是1, 1, 1, 1, …。将该序列的首项标示为 Δ₀。欧拉变换也基于差分的差分，以及更高的迭代，但是在1, 1, 1, 1, …各项之间的前向差分均为0。1 − 2 + 3 − 4 + …的欧拉变换便可定义为：

用现代术语来说，1 − 2 + 3 − 4 + …是欧拉可求和且其值为1⁄₄。

欧拉可求和也蕴涵了另一种可求和性。将1 − 2 + 3 − 4 + …表示为：

就有了相关的处处收敛级数：

因此 1 − 2 + 3 − 4 + … 的波莱尔和为：

赛切夫与Woyczyński只通过两个物理原理便得出了1 − 2 + 3 − 4 + … =1⁄₄，这两个原理分别是：无穷小松弛（）与尺度分离（）。为求表达准确，这些原理促使了他们去定义一系列的“-求和法”，所有这些方法都可以将级数求和得1⁄₄：

该结果推广了阿贝耳求和，当取() = exp(−)时可得到先前的等式。此一般陈述可通过将关于的级数中的项配对，并将表达式变换为黎曼积分的形式予以证明。在后一步中，对1 − 1 + 1 − 1 + …的相应证明（英语：Summation of Grandi's series#Separation of scales）运用了中值定理，但在这里需要泰勒公式中更强的拉格朗日形式。

1 − 1 + 1 − 1 + …的三重柯西乘积为1 − 3 + 6 − 10 + …，为三角形数的交错级数；其阿贝耳与欧拉和为1⁄₈。1 − 1 + 1 − 1 + …的四重柯西乘积为1 − 4 + 10 − 20 + …，为四面体数的交错级数，其阿贝耳和为1⁄₁₆。

另一个1 − 2 + 3 − 4 + …在略微不同的方向的广义化是一般级数1 − 2 + 3 − 4 + …。对正整数来说，此级数有下列的阿贝耳和：

其中是伯努利数。对大于0的偶数，则化约为：

后一个和成为尼尔斯·亨利克·阿贝尔特别嘲笑的对象，在1826年时他说：

切萨罗的老师欧仁·查理·卡塔兰也轻视发散级数。在卡塔兰的影响下，切萨罗早期提出1 − 2 + 3 − 4 + …的“习用式”是“荒谬的等式”；而在1883年，切萨罗表明了当时的一个典型看法：这些公式是错的，不过在某些场合在形式上是有用的。最后，在他1890年的书《》中，切萨罗从定义开始采用了一个现代的做法。

此级数在为非整数值的情况亦有所研究；这产生了狄利克雷η函数。欧拉研究1 − 2 + 3 − 4 + …相关级数的部分动机是η函数的函数方程，这直接导向了黎曼ζ函数的函数方程。欧拉在正偶数（包括在巴塞尔问题中）时找到这些函数值的建树已让他闻名，他也试图找到正奇数（包括在阿培里常数中）时的值，但这个问题直到今天仍是难以解决的。η函数通过欧拉的方法解决会比较简单，因为它的狄利克雷级数是处处阿贝耳可求和；而ζ函数的狄利克雷级数则非常难以对发散的部分求和。例如，1 − 2 + 3 − 4 + …在η函数中的相似级数是非交错级数1 + 2 + 3 + 4 + …，该级数在现代物理学上有很深的应用，不过需要非常强的方法才能求和。