复分析

✍ dations ◷ 2025-06-28 13:16:55 #复分析

复分析是研究复变函数，特别是亚纯函数和复变解析函数的数学理论。

研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。复变分析的应用领域较为广泛，在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。

复变函数，是自变量和应变量皆为复数的函数。更确切的说，复变函数的值域与定义域都是复平面的子集。在复变分析中，自变量又称为函数的“宗量”。

对于复变函数，自变量和应变量可分成实部和虚部:

用另一句话说，就是函数 $f(z)$ 的子集。设 $C {\displaystyle C}$ 内部的点 $a {\displaystyle a}$ 的积分。

在复变分析中，一个复平面的开子集 $D {\displaystyle D}$ ，以及中的一点 $a {\displaystyle a}$ 是复平面 $C {\displaystyle C}$ 中一点， $f:U-\left\{a\right\}\rightarrow C$ 是复平面上的一个单连通开子集，₁、……、是复平面上有限个点，是定义在 \ {₁、……、}的全纯函数。如果γ是一条把₁、……、包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个，并且其起点与终点重合，那么：

一些难于计算的实函数的积分可以通过转化为复变函数，然后利用留数定理来进行计算。

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