球谐函数

球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式解的角度部分。在经典场论、量子力学等领域广泛应用。

球坐标下的拉普拉斯方程:

利用分离变量法，设定 ${\displaystyle f(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=R(r)Y(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=R(r)\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})}$ 是归一化因子。

经过归一化后，球谐函数表达为：

这里的 ${\displaystyle Y_{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^m}$ 称为 ${\displaystyle \mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}$ 和 ${\displaystyle m}$ 的球谐函数。以上推导过程中，${\displaystyle i}$ 是虚数单位， ${\displaystyle P_{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^m}$ 是伴随勒让德多项式 。

其中${\displaystyle P_{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^m(x)}$ 用方程定义为：

而 ${\displaystyle P_{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}(x)}$ 是 ${\displaystyle l}$ 阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为：

${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle l=1}$

${\displaystyle l=2}$