立方体

在几何学中，立方体（Cube），是由6个正方形面组成的正多面体，故又称正六面体（Regular Hexahedron）、正方体或正立方体。它有12条棱（边）和8个顶（点），是五个柏拉图立体之一。立方体是一种特殊的正四棱柱、长方体、三方偏方面体、菱形多面体、平行六面体，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四边形一様。立方体具有正八面体对称性（英语：Octahedral symmetry），即考克斯特BC3对称性，施莱夫利符号{4,3}，考克斯特-迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin digram），其对偶多面体为正八面体。面的组成：正方形 面的数目：6 边的数目：12 顶点数目：8 表面积： 6 a 2   {displaystyle 6a^{2} } 体积： a 3   {displaystyle a^{3} } 二面角角度： 90 ∘ {displaystyle 90^{circ }} 外接球半径： 3 4 a {displaystyle {sqrt {frac {3}{4}}}a} ≈ 0.866 a {displaystyle approx 0.866a} 内接球半径： a 2 {displaystyle {frac {a}{2}}} 对偶多面体：正八面体 在所有表面积一定的长方体中，立方体的体积最大，同样，在所有线性大小（长宽高之和）一定的长方体中，立方体的体积也是最大的。反过来，体积相等的长方体中，立方体拥有最小表面积和线性大小。在三维直角坐标系中，对于以原点为中心的、各棱平行于坐标轴的、棱长为2的立方体，其顶点坐标为 (±1, ±1, ±1) 的全排列。其包含了所有满足|x|≤1且|y|≤1且|z|≤1的点(x,y,z)。 在R3中，以点(x0,y0,z0)为中心的立方体表面是点(x,y,z)的运动轨迹，其中x,y,z满足：立方体有11种不同的展开图，即是说，我们可以有11种不同的方法切开空心立方体的7条棱而将其展平为平面图形，见右图。如果我们要将立方体涂色而使相邻的面不带有相同的颜色，则我们至少需要3种颜色（类似于四色问题）。 立方体是唯一能够独立密铺三维欧几里得空间的柏拉图正多面体，因此立方体堆砌也是四维唯一的正堆砌（三维空间中的堆砌拓扑上等价于四维多胞体）。它又是柏拉图立体中唯一一个有偶数边面——正方形面的，因此，它是柏拉图立体中独一无二的环带多面体（它所有相对的面关于立方体中心中心对称）。 将立方体沿对角线切开，能得到6个全等的正4棱柱（但它不是半正的，底面棱长与侧棱长之比为2:√3）将其正方形面贴到原来的立方体上，能得到菱形十二面体（Rhombic Dodecahedron）（两两共面三角形合成一个菱形）。我们可以从不同角度将立方体投影到二维平面上，这些投影都各自携带有立方体原本BC3对称性的一部分。作为正多面体之一，立方体拥有较高的对称性，它的所有面在几何上都是相同的，不可区分的。可是我们也可以想象将立方体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使立方体拥有不同的对称性。在立方体完全的对称性，即正八面体对称性Oh中，立方体的所有面都是相同的。二面体对称性D4h则将立方体描述得像一个正四棱柱，有两个颜色相同的上下底面，其余4个侧面颜色相同。立方体最低的对称性D2h也将立方体描述的像一个棱柱，不过是长方形棱柱，即一个长方体，它的相对的面颜色相同，而相邻的面是不同的。每一种半正对称性都有自己的施莱夫利符号、考克斯特-迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin digram）和Wythoff符号（英语：Wythoff symbol）。此外，由于其对偶正八面体也可被看作是正三反棱柱，立方体也可被看作是正三反棱柱的对偶，即正三偏方面体。当正八面体在立方体之内： 正八面体体积 : 立方体体积 =×2 : 边3 =(1/3)(n/2)2 : n3 =1 : 6将立方体对映映射（英语：Antipodal point）后的到的商形成的一个实射影多面体，即立方体半形（hemicube）（不应叫其“半立方体”，因为其易与‘demicube’混淆）。正方体的对偶多面体是正八面体，如果原正方体棱长为1，则对偶正八面体棱长为√2。 正方体是一种最特殊的四边形正六面体：立方体的8个顶点可以被交错地分为两组，每一组都构成一个完整的正四面体，更严格地说，这是作为半(Demi-)立方体（demicube）的正四面体。这两个正四面体组合到一起，就构成了一个正的复合多面体——星形正八面体（Stella Octagula）。两个正四面体重合的地方构成凸的正八面体。这意味着，正四面体的对称群A3是正方体对称群的子群，对应着能将半立方体变换到自身的对称变换，立方体其余的对称变换能将两个半立方体变换到对方。一个这样的正四面体占据了立方体体积的1/3,立方体剩余的部分是4个全等的、顶角是立方体立体角的正三棱锥，各占立方体体积的1/6。 从立方体各棱中点处切掉立方体的角，我们会发现原先立方体的正方形面变成了其对偶的正方形面，而切掉的顶点处出现了新的正三角形面，这样的操作叫“截半”（Rectification），得到的半正多面体叫截半立方体（Rectified Cube），又叫立方八面体（Cuboctahedron）。如果我们不在棱中点处截它，则这种操作叫“截角”（Truncation），正方形面变成了八边形。如果截的合适，则我们可将正方形截成正八边形，得到的半正多面体叫截顶立方体（Truncated Cube）。如果我们同时截掉立方体的棱和顶，则这种操作叫“截棱”（Centellation），如果截的恰当，得到的半正多面体是小斜方截半立方体（Rhombicuboctahedron）。正十二面体有20个顶点，它们可以以不同组合分成由8个顶点组成的5组，这8个顶点两两相连，构成内接在正十二面体内部的立方体，它的棱都是正十二面体的各面的对角线。这五个立方体组合在一起，构成复合多面体——五复合立方体。如果我们完全切掉立方体相对的两个顶点，我们会得到一个非正的八面体，将8个这样的八面体正三角形面对正三角形面贴到正八面体上，则我们得到截半立方体。 立方体与所有其它拥有BC3对称性的多面体（如正八面体和立方八面体）构成正八面体家族：此外，立方体在拓扑上与其它3阶正镶嵌{n,3}相关：立方体在拓扑上还和其它阶的正方形正镶嵌{4,n}(n≥3)有关：立方体是正四棱柱：参见尺规作图，已经证明此题无法用无刻度的直尺与圆规去画出 2 3 {displaystyle {sqrt{2}}} 的位置立方体的横切面只有四种：其中以正六边形的面积最大,若立方体的棱长为a,则正六边形的面积为 3 3 a 2 4 {displaystyle {frac {3{sqrt {3}}a^{2}}{4}}} 。三角柱 · 四角柱 · 五角柱 · 六角柱 · 七角柱 · 八角柱 · 九角柱 · ... · 无限角柱（双曲）三角反柱 · 四角反柱 · 五角反柱 · 六角反柱 · 七角反柱 · 八角反柱 · ... · 无限角反柱三角锥柱 · 四角锥柱 · 五角锥柱 · 六角锥柱 · 七角锥柱 · 八角锥柱 · ... · 无限角锥柱