向量丛

向量丛(vector bundle)也翻译成向量束，是数学，特别是几何学，上的一种几何结构，在空间 （ 可以是拓扑空间、流形或代数簇）的每一点指定(或"黏上")一个向量空间(比如 ${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ 之上的向量丛最简单的例子是，×${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ 中的每一点有一个开邻域 ${\displaystyle U\subseteq <!--\; \subseteq \; -->X}$,和一个同胚

使得对所有 ∈ ,:

开邻域和同胚φ合起来叫做丛的局部平凡化。这表示映射π在局部看起来"像" × R到 上的投影.

向量丛 × R 称为平凡，如果赋予这空间一个投影映射　 × R → ，也就是 = × R 整体上是 的乘积空间 。

每个纤维π−1（）是一个有限维实向量空间，所以有在点 有一个维数，由局部平凡化的性质可知函数　${\displaystyle x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->d_x}$　的每个连通的部分上为常数。如果它在上是常数的话，我们把这个维数叫做向量丛的。一阶向量丛也叫线丛。

一个从向量丛π₁ : ₁ → ₁到向量丛π₂ : ₂ → ₂的态射（morphism）是一对连续映射 : ₁ → ₂和 : ₁ → ₂使得

所有向量丛的类和丛的射组成了一个范畴。限制到光滑流形和光滑丛射，我们就有了光滑向量丛的范畴。

我们可以考虑有一个固定基空间的所有向量丛组成的范畴。我们取那些在基空间上为恒等映射（identity map）的射作为在这个范畴中的射.也就是说，丛射满足下面的交换图：

（注意这个范畴不是可交换的；向量丛的射的核通常不能很自然的成为一个向量丛。）

给定一个向量丛 π : → ， 和 的开子集 ，我们可以考虑这个向量丛 在 上的截面，也就是连续函数  : → 满足 (π∘)=id。本质上，截面在 的每一点指定一个向量，且这向量属于在该点的，即 () ∈ π−1（) ，并且要求这种指定要有连续性(或可微性，依讨论空间而有所不同)。

例如，微分流形的切丛的截面就是流形上的向量场("微分"流形上一般会要求向量场可微)。

令 () 为上所有截面的集合. ()中至少有个元素 ，称作零截面(zero section)，这个截面函数 会把 的每一点 都映射到向量空间π−1（）中的零向量。使用每点的加法和数乘，()本身也构成了向量空间。这些向量空间的总和就是 上的向量空间的层(shelf)。

若 属于() 而 α : → R是 上的连续函数，则α 依然属于集合 ()。我们可以看到 () 是一个 上的连续实值函数的环上的模，进一步讲，若O表示上连续函数的层结构，则是O-模的一个层.

不是O-模的每个层都是以这种方式从向量丛的导的：只有局部自由层可以从这种方法得到。（理由：局部的，我们要找一个投影 × R → 的一个截面，这些恰好是连续函数 → R,并且这一函数是连续函数 → R-元组.）

更进一步讲：上的实向量丛的范畴是等价于O-模的局部自由和有限生成的层的。

所以我们可以将向量丛视为位于O-模的层的范畴内；而后者是可交换的，所以我们可以计算向量丛的射的核。

两个上的在同一个域上的向量丛，有一个惠特尼和,在每点的纤维为那两个丛的纤维的直积。同样，向量积和对偶空间丛也可以这样引入。

向量丛是纤维丛的特例。

光滑向量丛定义为满足和是光滑流形，π : → 是光滑映射，而局部平凡化映射φ是微分同胚的向量丛。

把实向量空间换成复向量空间(complex vector space, 既标量为复数的向量空间)，就得到了复向量丛(complex vector bundle)。这是结构群的约化的特例。也可以用其他拓扑域上的向量空间，但相对比较少见。

除了有限维的向量空间以外，如果是某个巴拿赫空间（而不仅是R），就可以得到巴拿赫丛.