魔方群

✍ dations ◷ 2025-04-02 12:56:45 #魔术方块,有限群,置换群

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

在数学中, 魔方群是一个群 (,·) 对应于集合G的所有魔方块正常转动可能形成的所有情形. 从完好魔方从发到任一种状态所经历的操作, 都与群元有一一对应的关系. .

对于一个3阶标准魔方, 除去中心块外一共有48个色块, 因此一个魔方状态可以由1-48的某种排列表示, 但由于魔方本身的几何结构约束, 并不是所有的序号排列都是合法的魔方状态. 在这种表示下, 对魔方的一个操作可以表示成一个置换. 因此, 3阶魔方群是置换群 $S_{48}$ $S_{48}$ 的子群, 并满足和置换群相同的运算规则.

和置换群相同, 魔方群是一个非阿贝尔群, 对魔方的操作不满足交换律.

一个3阶魔方包含 $6 {\displaystyle 6}$ $6$ 个面, 其中每个面有 $9 {\displaystyle 9}$ $9$ 个色块. 对魔方的一次原子级操作是将其中的某一个面顺时针旋转 $90^{\circ }$ $90^\circ$ , 分别记为 $\{\mathbf {F} ,\mathbf {B} ,\mathbf {L} ,\mathbf {R} ,\mathbf {U} ,\mathbf {D} \}$ $\{\mathbf {F} ,\mathbf {B} ,\mathbf {L} ,\mathbf {R} ,\mathbf {U} ,\mathbf {D} \}$ . 以右侧面为例, 逆时针旋转可以被记为 $\mathbf {R} ^{3}$ $\mathbf{R}^3$ , 通常简记为 $\mathbf {R} '$ $\mathbf {R} '$ . 特别指出, 不对魔方进行任何操作的操作被记为 $\mathbf {E}$ $\mathbf {E}$ , 是3阶魔方群的单位元.

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