精确对角化法

✍ dations ◷ 2025-08-25 00:36:09 #计算物理学

在量子力学中的一个量子系统，物理学家最有兴趣的是找出这个量子系统的基态，也就是能量本征值最小的态，例如：两个自旋1/2的粒子所形成的量子系统中，若粒子之间的交互作用可写成

${\frac {1}{4}}\left(\sigma _{1}^{x}\otimes \sigma _{2}^{x}+\sigma _{1}^{y}\otimes \sigma _{2}^{y}+\sigma _{1}^{z}\otimes \sigma _{2}^{z}\right)={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&2&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ ${\frac {1}{4}}\left(\sigma _{1}^{x}\otimes \sigma _{2}^{x}+\sigma _{1}^{y}\otimes \sigma _{2}^{y}+\sigma _{1}^{z}\otimes \sigma _{2}^{z}\right)={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&2&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

其中 $\sigma _{i}^{x}$ $\sigma _{i}^{x}$ 、 $\sigma _{i}^{y}$ $\sigma _{i}^{y}$ 、 $\sigma _{i}^{z}$ $\sigma _{i}^{z}$ 表示第 $i {\displaystyle i}$ $i$ 个自旋的包立矩阵。将上面4×4的矩阵对角化后可得本征值： $-{\frac {3}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}$ $-{\frac {3}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}$ ，对应的本征向量为 ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\\{\frac {-1}{{\sqrt {2}}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\\{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$ ，而 ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\0\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\\{\frac {-1}{{\sqrt {2}}}}\\0\end{pmatrix}}$ 即为这个系统中的基态。

可想而知，随着量子系统的粒子数变多，且交互作用愈来愈复杂时，量子系统的基态很难用解析的方法计算出来，因此许多物理学家转向利用数值方法来求得基态。

精确对角化法（exact diagonalization）是一个最直接求得基态的数值方法，但由于将哈密顿算符完整对角化非常花费时间与电脑内存，所以当需要的只是基态和少数激发态，通常利用Lanczos算法和Davidson算法。精确对角化法本身的物理概念极为简单，若是只需要得到极小尺寸的结果，在程式撰写方面也很容易，然而增加系统尺寸时，随着所需的内存暴增，程式设计变得非常困难。主要困难之处在于如何有效运用有限的内存，以及提升程式运作的效率。目前电脑的条件下，精确对角化法的尺寸极限如下：

Lanczos算法是由数学家Cornelius Lanczos（英语：Cornelius Lanczos）所发明。

相关

亨德里克·洛伦兹亨德里克·安东·洛伦兹（荷兰语：Hendrik Antoon Lorentz，1853年7月18日－1928年2月4日），荷兰物理学家，曾与彼得·塞曼共同获得1902年诺贝尔物理学奖，并于1881年当选荷兰皇家艺术与科
括约肌括约肌是人或者一些动物身上的一种肌肉类型。这种类型的肌肉分布在管腔壁，收缩的时候管腔就会被关闭，放松的时候，管腔就会开放。人的肛门、尿道、膀胱还有胃部的贲门和幽门都有
蜜蜡蜂蜡（英语：Beeswax），是蜜蜂工蜂分泌的蜡。蜜蜂用蜂蜡在蜂巢里建分隔的房间，用来育幼或储存花粉。工蜂拥有四对蜡腺，位于腹部第4至7节。蜂蜡即蜡腺的分泌物。刚羽化成的最年轻的工
宣州宣州区是中国安徽省宣城市下辖的一个区。面积2533平方千米，人口84万。邮政编码242000。区人民政府驻叠嶂中路。西汉时，在境内开始置宛陵县，西晋为宣城郡郡治。隋朝时，改为宣城县
塔多思塔多思（SDL Trados）是一款电脑辅助翻译软件，由德国Trados GmbH公司开发，现由语言服务供应商SDL国际发布。Trados GmbH公司由约亨·胡梅尔（Jochen Hummel）和希科·克尼普豪森（Iko Kn
海伦娜 (蒙大拿州)海伦娜（又译赫勒拿；Helena）是美国蒙大拿州的首府、刘易斯与克拉克县县治。面积36平方公里。根据2010年美国人口普查，人口28,190人，而其所在的刘易斯与克拉克县人口为63,395人。海
特别响，非常近《特别响，非常近》（英语：）是2011年美国剧情片，改编自Jonathan Safran Foer（英语：Jonathan Safran Foer）所写的同名小说。英国导演斯蒂芬·达尔德里执导，Eric Roth（英语：Eric Roth）编剧。
较差自转较差自转，又名差动自转。是指一个天体在自转时不同部位的角速度互不相同的现象。较差自转在大多数非固体的天体中存在，比如星系、恒星、巨型气体行星等等；太阳系内则在太阳、木
郁山郁山（1481年－1536年），字静子，南京松江府华亭县（今上海市松江县）人，明朝政治人物。应天府乡试第三十名举人。正德十六年（1521年）中式辛巳科会试第九十四名，登第三甲第六十八名进士，授龙泉
辽宁省民族事务委员会印章规定：直径4.2厘米，中央刊五角星。辽宁省民族事务委员会是中华人民共和国辽宁省人民政府负责民族事务工作的组成部门。与辽宁省宗教事务局一个机构，两块牌子。Template:辽