精确对角化法

✍ dations ◷ 2025-11-25 10:33:51 #计算物理学

在量子力学中的一个量子系统，物理学家最有兴趣的是找出这个量子系统的基态，也就是能量本征值最小的态，例如：两个自旋1/2的粒子所形成的量子系统中，若粒子之间的交互作用可写成

${\frac {1}{4}}\left(\sigma _{1}^{x}\otimes \sigma _{2}^{x}+\sigma _{1}^{y}\otimes \sigma _{2}^{y}+\sigma _{1}^{z}\otimes \sigma _{2}^{z}\right)={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&2&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ ${\frac {1}{4}}\left(\sigma _{1}^{x}\otimes \sigma _{2}^{x}+\sigma _{1}^{y}\otimes \sigma _{2}^{y}+\sigma _{1}^{z}\otimes \sigma _{2}^{z}\right)={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&2&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

其中 $\sigma _{i}^{x}$ $\sigma _{i}^{x}$ 、 $\sigma _{i}^{y}$ $\sigma _{i}^{y}$ 、 $\sigma _{i}^{z}$ $\sigma _{i}^{z}$ 表示第 $i {\displaystyle i}$ $i$ 个自旋的包立矩阵。将上面4×4的矩阵对角化后可得本征值： $-{\frac {3}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}$ $-{\frac {3}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}$ ，对应的本征向量为 ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\\{\frac {-1}{{\sqrt {2}}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\\{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$ ，而 ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\0\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\\{\frac {-1}{{\sqrt {2}}}}\\0\end{pmatrix}}$ 即为这个系统中的基态。

可想而知，随着量子系统的粒子数变多，且交互作用愈来愈复杂时，量子系统的基态很难用解析的方法计算出来，因此许多物理学家转向利用数值方法来求得基态。

精确对角化法（exact diagonalization）是一个最直接求得基态的数值方法，但由于将哈密顿算符完整对角化非常花费时间与电脑内存，所以当需要的只是基态和少数激发态，通常利用Lanczos算法和Davidson算法。精确对角化法本身的物理概念极为简单，若是只需要得到极小尺寸的结果，在程式撰写方面也很容易，然而增加系统尺寸时，随着所需的内存暴增，程式设计变得非常困难。主要困难之处在于如何有效运用有限的内存，以及提升程式运作的效率。目前电脑的条件下，精确对角化法的尺寸极限如下：

Lanczos算法是由数学家Cornelius Lanczos（英语：Cornelius Lanczos）所发明。

相关

月经生理月经（英语：menstruation, period, monthly，古代叫做癸水，俗称姨妈到、好朋友、大姨妈、来M等），是指女性血液或黏膜定期从子宫内膜经阴道排出体外的现象。高达80%女性曾表示在月经
各向异性非均向性（anisotropy），或作各向异性，与各向同性相反，指物体的全部或部分物理、化学等性质随方向的不同而有所变化的特性，例如石墨单晶的电导率在不同方向的差异可达数千倍，又如天文
胰岛素样生长因子11B9G、1GZR、1GZY、1GZZ、1H02、1H59、1IMX、1PMX、1TGR、1WQJ、2DSR、2GF1、3GF1、3LRI、1BQT、4XSS347916000ENSG00000017427ENSMUSG00000
G2期G2期是间期的第三个也是最后一个阶段。细胞在S期完成了DNA复制后进入G2期，G2期结束后，前期随即开始，染色质凝聚为染色体，核膜也开始解体。G2期中细胞快速生长并大量合成有丝分裂
李夫人 (北魏献文帝)李氏（5世纪？－469年），北魏献文帝的妃子。拓跋宏的母亲。中山安喜人，父亲名李惠，母亲韩氏。李氏容貌婉丽、性情温和，年18岁选入东宫给年幼的太子拓跋弘为妾。天安元年（466年），十二岁的拓
鸦片类药物泛滥鸦片类药物泛滥（The opioid epidemic）指2010年代美国和加拿大对经处方和非经处方的鸦片类药物的使用急剧上升所造成的健康灾难。鸦片类药物除了吗啡和海洛因外，也包括羟二氢可
乖离率乖离率（英语：Bias Ratio, BIAS），代表当日股票收盘价和移动平均线的差距，以分析股价偏离的程度。当股价和移动平均线的差距愈远时，乖离率愈大，代表股价即将有修正偏离的可能。当乖离
呼和浩特站呼和浩特站，前称归绥站，位于中国内蒙古自治区呼和浩特市新城区，于1921年5月2日启用，为中国铁路呼和浩特局集团有限公司管辖的客货运一等站。经过铁路有唐呼铁路。呼和浩特站站房
索尔·坎贝尔萨尔兹·杰里迈亚·"索尔"·坎贝尔（英语：Sulzeer Jeremiah "Sol" Campbell，1974年9月18日－）乃一名已退役的英格兰足球运动员，司职后卫。索尔·坎贝尔乃中美洲牙买加后裔，早年在托特
中国铁路跨局非空调列车车次在中国的铁路客运中，跨局旅客列车多数已空调化，但仍然存在一些跨局非空调列车，其中以普通旅客快车和普通旅客列车为主。