精确对角化法

✍ dations ◷ 2025-11-14 19:10:30 #计算物理学

在量子力学中的一个量子系统，物理学家最有兴趣的是找出这个量子系统的基态，也就是能量本征值最小的态，例如：两个自旋1/2的粒子所形成的量子系统中，若粒子之间的交互作用可写成

${\frac {1}{4}}\left(\sigma _{1}^{x}\otimes \sigma _{2}^{x}+\sigma _{1}^{y}\otimes \sigma _{2}^{y}+\sigma _{1}^{z}\otimes \sigma _{2}^{z}\right)={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&2&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ ${\frac {1}{4}}\left(\sigma _{1}^{x}\otimes \sigma _{2}^{x}+\sigma _{1}^{y}\otimes \sigma _{2}^{y}+\sigma _{1}^{z}\otimes \sigma _{2}^{z}\right)={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&2&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

其中 $\sigma _{i}^{x}$ $\sigma _{i}^{x}$ 、 $\sigma _{i}^{y}$ $\sigma _{i}^{y}$ 、 $\sigma _{i}^{z}$ $\sigma _{i}^{z}$ 表示第 $i {\displaystyle i}$ $i$ 个自旋的包立矩阵。将上面4×4的矩阵对角化后可得本征值： $-{\frac {3}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}$ $-{\frac {3}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}$ ，对应的本征向量为 ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\\{\frac {-1}{{\sqrt {2}}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\\{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$ ，而 ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\0\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\\{\frac {-1}{{\sqrt {2}}}}\\0\end{pmatrix}}$ 即为这个系统中的基态。

可想而知，随着量子系统的粒子数变多，且交互作用愈来愈复杂时，量子系统的基态很难用解析的方法计算出来，因此许多物理学家转向利用数值方法来求得基态。

精确对角化法（exact diagonalization）是一个最直接求得基态的数值方法，但由于将哈密顿算符完整对角化非常花费时间与电脑内存，所以当需要的只是基态和少数激发态，通常利用Lanczos算法和Davidson算法。精确对角化法本身的物理概念极为简单，若是只需要得到极小尺寸的结果，在程式撰写方面也很容易，然而增加系统尺寸时，随着所需的内存暴增，程式设计变得非常困难。主要困难之处在于如何有效运用有限的内存，以及提升程式运作的效率。目前电脑的条件下，精确对角化法的尺寸极限如下：

Lanczos算法是由数学家Cornelius Lanczos（英语：Cornelius Lanczos）所发明。

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