精确对角化法

✍ dations ◷ 2025-10-21 01:53:13 #计算物理学

在量子力学中的一个量子系统，物理学家最有兴趣的是找出这个量子系统的基态，也就是能量本征值最小的态，例如：两个自旋1/2的粒子所形成的量子系统中，若粒子之间的交互作用可写成

${\frac {1}{4}}\left(\sigma _{1}^{x}\otimes \sigma _{2}^{x}+\sigma _{1}^{y}\otimes \sigma _{2}^{y}+\sigma _{1}^{z}\otimes \sigma _{2}^{z}\right)={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&2&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ ${\frac {1}{4}}\left(\sigma _{1}^{x}\otimes \sigma _{2}^{x}+\sigma _{1}^{y}\otimes \sigma _{2}^{y}+\sigma _{1}^{z}\otimes \sigma _{2}^{z}\right)={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&2&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

其中 $\sigma _{i}^{x}$ $\sigma _{i}^{x}$ 、 $\sigma _{i}^{y}$ $\sigma _{i}^{y}$ 、 $\sigma _{i}^{z}$ $\sigma _{i}^{z}$ 表示第 $i {\displaystyle i}$ $i$ 个自旋的包立矩阵。将上面4×4的矩阵对角化后可得本征值： $-{\frac {3}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}$ $-{\frac {3}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}$ ，对应的本征向量为 ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\\{\frac {-1}{{\sqrt {2}}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\\{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$ ，而 ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\0\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\\{\frac {-1}{{\sqrt {2}}}}\\0\end{pmatrix}}$ 即为这个系统中的基态。

可想而知，随着量子系统的粒子数变多，且交互作用愈来愈复杂时，量子系统的基态很难用解析的方法计算出来，因此许多物理学家转向利用数值方法来求得基态。

精确对角化法（exact diagonalization）是一个最直接求得基态的数值方法，但由于将哈密顿算符完整对角化非常花费时间与电脑内存，所以当需要的只是基态和少数激发态，通常利用Lanczos算法和Davidson算法。精确对角化法本身的物理概念极为简单，若是只需要得到极小尺寸的结果，在程式撰写方面也很容易，然而增加系统尺寸时，随着所需的内存暴增，程式设计变得非常困难。主要困难之处在于如何有效运用有限的内存，以及提升程式运作的效率。目前电脑的条件下，精确对角化法的尺寸极限如下：

Lanczos算法是由数学家Cornelius Lanczos（英语：Cornelius Lanczos）所发明。

相关

印度斯坦语印度斯坦语（हिन्दुस्तानी，ہندوستانی‬）又称印地—乌尔都语，是语言学家对印度斯坦（即南亚北部）的印地语、乌尔都语及其相应方言的统称。这些语种的语法基本相
鸟取大学坐标：35°30′54.4″N 134°10′18.6″E / 35.515111°N 134.171833°E / 35.515111; 134.171833鸟取大学鸟取大学（日语：鳥取大学／とっとりだいがく，Tottori University）位于鸟取
多胺多胺（英语：polyamines)，又称多元胺，是一种具有两个或多个主要胺基(－NH2)的有机化合物。这类的化合物包含一些合成物质，可以做为化学工业中重要的原料，像是乙二胺(H2N–CH2–CH2–NH
白海白海（俄语：Белое море）是巴伦支海的延伸部分，位于俄罗斯境内。西面为卡累利阿共和国，北面为科拉半岛，东面为卡宁半岛。面积8.9万平方公里。为俄罗斯内海。白海包括四大海
尺子尺子又称尺、间尺，是用来画线段（尤其是直的）、量度长度的工具或仪器。在尺规作图中，尺被视为可画无穷长的直线的工具。尺上通常有刻度以量度长度。有些尺更在中间留有特殊形状如
郑贻春郑贻春（1959年1月27日－2018年12月13日），辽宁营口人，作家、诗人，在博讯网、大纪元、议报等海外网站上发表评论中华人民共和国政府的文章。据《开放杂志》2006年1月号报道，郑贻春是《
弗里德里希·拉德加斯特弗里德里希·拉德加斯特（德语：Friedrich Ladegast，1818年8月30日－1905年6月30日）是19世纪下半叶德国著名的管风琴建造师。
沉沦沉沦可以指以下事物：
静山静山（英语：Cheng San；白话字：Chēng-san）是新加坡宏茂桥的一个选区。邻近的地铁站有宏茂桥地铁站和杨厝港地铁站等。静山属于新加坡宏茂桥集选区的一部分。
尼古拉斯·富凯尼古拉斯·富凯（Nicolas Fouquet，1615年1月27日－1680年3月23日）路易十四时期的法国财政总管，贝勒岛侯爵，默伦和沃子爵。富凯出生于巴黎一个具有影响力的贵族家庭。富凯为人机敏干