精确对角化法

✍ dations ◷ 2025-06-29 17:43:25 #计算物理学

在量子力学中的一个量子系统,物理学家最有兴趣的是找出这个量子系统的基态,也就是能量本征值最小的态,例如:两个自旋1/2的粒子所形成的量子系统中,若粒子之间的交互作用可写成

1 4 ( σ 1 x σ 2 x + σ 1 y σ 2 y + σ 1 z σ 2 z ) = 1 4 ( 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(\sigma _{1}^{x}\otimes \sigma _{2}^{x}+\sigma _{1}^{y}\otimes \sigma _{2}^{y}+\sigma _{1}^{z}\otimes \sigma _{2}^{z}\right)={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&2&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}

其中 σ i x {\displaystyle \sigma _{i}^{x}} σ i y {\displaystyle \sigma _{i}^{y}} σ i z {\displaystyle \sigma _{i}^{z}} 表示第 i {\displaystyle i} 个自旋的包立矩阵。将上面4×4的矩阵对角化后可得本征值: 3 4 , 1 4 , 1 4 , 1 4 {\displaystyle -{\frac {3}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}} ,对应的本征向量为 ( 0 1 2 1 2 0 ) , ( 0 1 2 1 2 0 ) , ( 1 0 0 0 ) , ( 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}} ,而 ( 0 1 2 1 2 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\0\end{pmatrix}}} 即为这个系统中的基态。

可想而知,随着量子系统的粒子数变多,且交互作用愈来愈复杂时,量子系统的基态很难用解析的方法计算出来,因此许多物理学家转向利用数值方法来求得基态。

精确对角化法(exact diagonalization)是一个最直接求得基态的数值方法,但由于将哈密顿算符完整对角化非常花费时间与电脑内存,所以当需要的只是基态和少数激发态,通常利用Lanczos算法和Davidson算法。精确对角化法本身的物理概念极为简单,若是只需要得到极小尺寸的结果,在程式撰写方面也很容易,然而增加系统尺寸时,随着所需的内存暴增,程式设计变得非常困难。主要困难之处在于如何有效运用有限的内存,以及提升程式运作的效率。目前电脑的条件下,精确对角化法的尺寸极限如下:

Lanczos算法是由数学家Cornelius Lanczos(英语:Cornelius Lanczos)所发明。

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