精确对角化法

在量子力学中的一个量子系统，物理学家最有兴趣的是找出这个量子系统的基态，也就是能量本征值最小的态，例如：两个自旋1/2的粒子所形成的量子系统中，若粒子之间的交互作用可写成

其中${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i^x}$、${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i^y}$、${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i^z}$表示第${\displaystyle i}$个自旋的包立矩阵。将上面4×4的矩阵对角化后可得本征值：${\displaystyle -<!--\; -\; -->\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}}$，对应的本征向量为${\displaystyle \left(\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{-<!--\; -\; -->1}{\sqrt{2}}\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$，而 ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{-<!--\; -\; -->1}{\sqrt{2}}\\ 0\end{array}\right)}$ 即为这个系统中的基态。

可想而知，随着量子系统的粒子数变多，且交互作用愈来愈复杂时，量子系统的基态很难用解析的方法计算出来，因此许多物理学家转向利用数值方法来求得基态。

精确对角化法（exact diagonalization）是一个最直接求得基态的数值方法，但由于将哈密顿算符完整对角化非常花费时间与电脑内存，所以当需要的只是基态和少数激发态，通常利用Lanczos算法和Davidson算法。精确对角化法本身的物理概念极为简单，若是只需要得到极小尺寸的结果，在程式撰写方面也很容易，然而增加系统尺寸时，随着所需的内存暴增，程式设计变得非常困难。主要困难之处在于如何有效运用有限的内存，以及提升程式运作的效率。目前电脑的条件下，精确对角化法的尺寸极限如下：

Lanczos算法是由数学家Cornelius Lanczos（英语：Cornelius Lanczos）所发明。