三等分角

三等分角是古希腊平面几何里尺规作图领域中的著名问题，与化圆为方及倍立方问题并列为尺规作图三大难题。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一，是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化，研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。三等分角问题的内容是：“能否仅用尺规作图法将任意角度三等分？”

三等分角问题提出后，在漫长的两千余年中，曾有众多的尝试，但没有人能够给出严格的答案 。随着十九世纪群论和域论的发展，法国数学家皮埃尔·汪策尔（英语：Pierre Wantzel）首先利用伽罗瓦理论证明，这个问题的答案是否定的：不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。具体来说，汪策尔研究了给定单位长度后，能够用尺规作图法所能达到的长度值。所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数，而汪策尔证明了，如果能够三等分任意角度，那么就能做出不属于规矩数的长度，从而反证出通过尺规三等分任意角是不可能的。

如果不将手段局限在尺规作图法中，放宽限制或借助更多的工具的话，三等分任意角是可能的。然而，作为数学问题本身，由于三等分角问题表述简单，而证明困难，并用到了高等的数学方法，在已证明三等分角问题不可能之后后，仍然有许多人尝试给出肯定的证明。

在叙述三等分问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是：

定义了直尺和圆规的特性后，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法：

尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”等等。

三等分角问题的完整叙述是：

关于这个叙述中的用词和术语，需要一一作出定义。“角”可以有两种等价的定义：一个角可以是由一点和从它出发的两条射线构成的集合，也可以是由三点和连接它们的两条线段构成的集合。以下的叙述中采取第二个定义，用三个大写英文字母或一个希腊字母表示一个角。角AOB指的是由三点A, O, B以及线段AO和OB构成的集合，也可以直接用一个希腊字母如表示。两个角AOB和A'O'B'相等，指的是以下条件：如果将线段OA沿点A延长为射线，在上面作一点C使得OC ${\displaystyle =}$等于另一个角的三分之一，指的是角等于角的三倍。而一个角AOB等于角AOC的倍（ > 1为自然数），指的是可以找到点B₁, B₂, ... , B等，使得个角AOB₁, B₁OB₂, ... , B_-1OB都等于AOC，并且点B就是点B。

与三等分角问题相比，用尺规作图将任意角二等分要容易得多。右图具体说明了二等分一个角的步骤。依照类似的步骤，也能够将任意角四等分、八等分……但直到十九世纪，随着群论和伽罗瓦理论的出现，数学家们才认识到二等分角和三等分角本质上的不同。在现代数学语言中，更常用域扩张的理论来论述三等分角的问题。从证明三等分角的过程中可以知道，尺规作图的方法不但不能三等分任意角，也不能将任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直线和圆的解析性质。

1837年，法国数学家汪策尔证明了，三等分角问题是没有办法完成的:15。

三等分角问题提出后，有许多基于平面几何的论证和尝试，但在十九世纪以前，一直没有完整的解答。没有人能够给出将任意角度三等分的确实做法，但开始怀疑其可能性的人之中，也没有人能够证明这样的做法一定不存在。直到十九世纪后，伽罗瓦和阿贝尔(全名:尼尔斯·阿贝尔)开创了以群论来讨论有理系数多项式方程之解的方法，人们才认识到三等分角问题的本质。

在研究各种尺规作图问题的时候，数学家们留意到，能否用尺规作出特定的图形或目标，本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后，又可以将长度解释为坐标。比如说，作出一个圆，实际上是作出圆心的位置（坐标）和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线，实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此，数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点O和A，以OA为单位长度，射线OA为x-轴正向可以为平面建立一个标准直角坐标系，平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示，整个平面可以等价于${\displaystyle {\mathbb{R}}^2}$(E₀)，那么规矩数定义为H中的点的横坐标和纵坐标表示的数。

可以证明，有理数集${\displaystyle \mathbb{Q}}$ ${\displaystyle =}$+满足一个二次方程：

其中的₁+₂、₁+₂以及都是L中的元素:523:78-79。这意味着，域扩张L⊆L(z)的阶数最多是2（最小多项式的阶数至多是2）。这又说明，从L开始，经过一系列（次）基本步骤得到的尺规可作点，代表了次域扩张：

而每次域扩张的阶数：都不超过2。因此，如果从基本的有理数域出发的话，就能得到如下的定理：:523-524

其中的是某个小于的自然数（是已知所有有理数坐标点时，作出对应的点要经过的基本步骤数目）。|headerstyle=background:#ccccff|style=text-align:center;}}

上文已经说明，任何可以用尺规作图作出的点，其座标对应一个复规矩数，它的最小多项式次数为${\displaystyle 2^s}$三等分的示意图。这个想法最早由阿基米德提出:4。

首先，在直尺上有两个刻度，相距。把角上的直线延长，并作一个半径为的圆。

把直尺的一点固定在，并将直尺绕着点移动，直到其中一个刻度位于点，另一个刻度位于点，也就是说， ${\displaystyle =}$。这时，角就是角的三分之一。

要证明${\displaystyle a=3b}$，我们需要利用直线上的邻角(adjacent angles on straight line)，三角形的内角和(angle sum of triangle)及等腰三角形底角(base angle, isosceles triangle)。

证明：

所以，${\displaystyle a-<!--\; -\; -->3b=0}$，或${\displaystyle a=3b}$。证毕。:4-5

或者，可以利用三角形的外角(Exterior Angle of a Triangle)作证明。

${\displaystyle b+b=c}$

${\displaystyle b+c=a}$

${\displaystyle \Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->b+2b=a}$

${\displaystyle \Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->a=3b}$

同样也可证明。

尺规作图的规定来自于古希腊的柏拉图学派，他们认为仅有直线和圆是完美的形状。事实上，如果允许在作图中使用其他的曲线或形状，那么三等分任意角是可行的。例如：已知角AOB，做其角平分线OC。以直线OC为准线，点A为焦点，作一双曲线；同时以O为圆心，OA为半径做圆。设该圆与双曲线在角AOB内侧的交点为D，那么角AOD等于角AOB的三分之一。此外，麦克劳林、利马松等人也曾经设计过可以辅助三等分角的曲线。阿基米德螺线（等角螺线）也是能够直观帮助三等分角的曲线。在极坐标中，阿基米德螺线的方程是：

其中的${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$是极径（离原点的距离），${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$是幅角。由于极径和幅角成正比，所以要寻找等于给定角度三分之一的角度，只需要确定原角度对应的极径长度${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0}$，然后对比找出${\displaystyle \frac{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_0}{3}}$对应的角度即可。:8