四极子

✍ dations ◷ 2025-09-09 03:09:05 #电磁学,万有引力

四极子(英语:Quadrupole)是指一种电荷、电流或产生引力的质点等场源在空间中分布模式。四极子是一种特殊的空间分布,对于一般分布而言,四极子可以是其多极展开的一部分。

四极子通常用一个张量表述,四极矩张量Q是一个二阶张量,即一个迹为零的3x3矩阵(即 Q x x + Q y y + Q z z = 0 {\displaystyle Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}=0} )。四极矩张量有9个元素,但是由于对称性和迹为零的特性,其中只有5个元素是独立的。

以电荷分布为例,系统中的电荷以点电荷形式离散分布于空间中,每个点电荷的电荷量为 q {\displaystyle q} ,坐标为 r = ( r x , r y , r z ) {\displaystyle {\vec {r}}=(r_{x},r_{y},r_{z})} ,则张量 Q {\displaystyle Q} 的矩阵元为

Q i j = l q l ( 3 r i r j r 2 δ i j ) {\displaystyle Q_{ij}=\sum _{l}q_{l}(3r_{i}r_{j}-\|{\vec {r}}\|^{2}\delta _{ij})} .

其中下标 i {\displaystyle i} j {\displaystyle j} 分别遍历 x , y , z {\displaystyle x,y,z} 三个表示笛卡尔坐标的下标, δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} 是克罗内克函数。

对于具有连续电荷密度(或质量密度)分布的系统,密度在空间中的分布以 ρ ( x , y , z ) {\displaystyle \rho (x,y,z)} 表达,此时 Q 由空间上的积分来定义:

Q i j = ρ ( 3 r i r j r 2 δ i j ) d 3 r {\displaystyle Q_{ij}=\int \,\rho (3r_{i}r_{j}-\|{\vec {r}}\|^{2}\delta _{ij})\,d^{3}\mathbf {r} }

对于一个任意的多极子体系,若它的低阶矩(单极矩和偶极矩)不是零,则四极矩的值与坐标原点的选取有关。例如,两个相反但电荷量相同的的点电荷组成的电偶极子,具有电偶极矩。若原点不在两个电荷的中点,那么这个体系的电四极矩不为零,反之则为零。如果低阶矩都是零(例如四个相同电荷量的电荷置于正方形的四个顶点上,每条边上的两个电荷异号),则电四极矩与坐标原点无关。

对于势的大小可表示为 1 / r {\displaystyle 1/r} 形式的场(例如电场和引力场),四极子对势的贡献为:

其中 R 是场源(电荷、质量等)系统指向场中某点的位移矢量,n 是与 R 同方向的单位矢量。 i , j {\displaystyle i,j} 的含义与前面相同, n i , n j {\displaystyle n_{i},n_{j}} 表示 n 在 i {\displaystyle i} j {\displaystyle j} 方向的分量。

最简单的电四极子是四个相同电荷量的电荷置于正方形的四个顶点上,每条边上的两个电荷异号。这个体系中的总电荷量为零。在此情况下,其电偶极矩都是零,但电四极矩不是零,二者皆与坐标系的选取无关。此电荷体系产生的电势由以下式子给出

其中 ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 是电容率, Q i j {\displaystyle Q_{ij}} 定义同上.

众所周知,磁铁分为南北两极,两极之间有磁场。然而,四极磁场将四个磁铁相互垂直放置,其中一个磁极比如南极都朝内放置,另一个磁极如北极都朝外放置,四个磁铁呈放射状。这样的结构将磁偶极矩抵消,产生一个四极矩。这样的磁场强度在大范围内衰减很快(相对于磁偶极)。磁四极子的磁场常用于在粒子加速器中聚焦带电粒子束(英语:Charged particle beam),属于强聚焦(英语:Strong focusing)方法的一种。随时间变化的磁四极子能产生电磁辐射。

由质点组成的四极子与电四极子类似,其产生的重力场可表达为:

例如,由于地球不是完美的球体,在赤道处略有隆起,地球产生的四极矩不为零。这个四极矩对于人造卫星轨道的计算非常重要,但对于月球轨道计算则影响较小。这是由于因为四极矩产生的场是 1 | R | 3 {\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}} 的形式,随距离衰减很快。

重力四极矩在广义相对论中也十分重要。如果它随时间变化,就能产生重力波(与震荡的电或磁四极矩产生电磁辐射的情形类似)。只有重力四极矩或更高阶的矩能向外辐射出引力波。在重力的情境下,单极矩代表系统的总值量,是一个守恒量,不产生辐射。相同的,系统的动量为偶极矩对时间的一阶导数,也是守恒量,不随时间变化,因此偶极矩不产生辐射。而四极矩可随时间变化,因此它是能生生重力波辐射的最低阶多极矩。

能够向外辐射重力波的最简单系统是:两个相同质量的质点以其质心互相绕行作圆周运动。假设坐标系以质心作为原点,并且以质心到其中一质点的距离作为距离单位,则这个系统的四极矩为

其中 M 是两个质点各自的质量, x i {\displaystyle x_{i}} 是质点位置向量在坐标轴其中一方向的分量。当互相绕行作圆周运动时,x方向向量会旋转,使其一阶导数及二阶导数均不为0(因有速度及加速度),因此此系统可辐射出重力波。在赫尔斯-泰勒脉冲双星(为两质量相近的中子星组成的脉冲星双星系统)中找到了因重力波辐射导致能量损失的证据。

相关

  • 食用食用蕈,或称食用菌或食用菇、食菇,是可以食用的大型真菌子实体(不包括酵母菌、青霉菌等微生物)。决定真菌是否可以食用的因素包括毒性、味道、硬度、和气味。有些有毒的蕈类经过
  • 问卷调查问卷调查是有目标对象的意见调查的其中一个方法,问卷调查的形式是由一连串写好的小问题组成,然后去访问,收集被访问者的意见、感受、反应及对知识的认识等。可以在很短的时间内
  • 干城章嘉峰干城章嘉峰(Kanchenjunga),也称作金城章嘉峰,海拔8,586米,为世界第三高峰(仅次于珠穆朗玛峰与乔戈里峰),也是印度的最高峰。它位于喜马拉雅山脉中段尼泊尔和印度的边界线上,东经88度0
  • 英国电信英国电信(BT Group plc,以BT为商标,前身为British Telecom,简称BT),原为英国国营电信公用事业,由英国邮政总局管理,1981年10月1日脱离英国皇家邮政,变成独立的国营事业。在英国保守党
  • 自杀地点下面是关于现在和历史上常为多数人作为自杀之选的地方,通常是自杀者以跳下的方式进行。一些地点被安装了防自杀护栏和其他预防设施。而某些地点的自杀者之确切数字难以确定,因
  • 伊莲娜·科塔伊莲娜·科塔(英语:Elena Cotta,1931年8月19日-)是一名意大利舞台、电影和电视女演员。生于米兰,科塔年轻时以奖学金就读西尔维奥·达米科国家戏剧艺术学院,但读了一年后便退学进入
  • 数字子频道数字子频道(英语:Digital subchannel)是指在广播上,从同一个数字广播电台或地面数字电视台站所发射的同一个射频频道上同时搭载一个以上独立节目流的技术。这是通过数据压缩技术
  • 环加成反应环加成反应(英文:Cycloaddition)是两个或多个不饱和化合物(或同一化合物的不同部分)结合生成环状化合物,并伴随有系统总键级数减少的化学反应。它可以是周环反应或非协同的分步反
  • 美国空军第62空运联队美国空军第62空运联队(英语:62nd Airlift Wing, 62 AW)是美国空军机动司令部美国第十八航空队下属的航空联队,驻扎美国华盛顿州的刘易斯-麦克德联合基地(英语:Joint Base Lewis–M
  • 基数效应基数效应(Base Effect)指在同比口径下,由于上一年度财务或经济数据因某些因素导致偏低或偏高,使得本年数据出现高增长或大幅下降的情况。基数效应使得某些数据的高增长失去实际