杰斐缅柯方程

在电磁学里，给予含时电荷密度分布和电流密度分布，可以使用杰斐缅柯方程（Jefimenko equation）来计算电场和磁场。这方程因其发现者物理学家欧雷格·杰斐缅柯（英语：Oleg D. Jefimenko）而命名。杰斐缅柯方程是麦克斯韦方程组对于这些电荷密度分布和电流密度分布的解答。在真空内，电场 E {displaystyle mathbf {E} } 和磁场 B {displaystyle mathbf {B} } 可以用杰斐缅柯方程表达为：其中， r {displaystyle mathbf {r} } 是场位置， r ′ {displaystyle mathbf {r} '} 是源位置， t {displaystyle t} 是现在时间， t r {displaystyle t_{r}} 是推迟时间， ϵ 0 {displaystyle epsilon _{0}} 是电常数， μ 0 {displaystyle mu _{0}} 是磁常数， ρ {displaystyle rho } 是电荷密度， ρ ˙   = d e f   ∂ ρ ∂ t {displaystyle {dot {rho }} {stackrel {def}{=}} {frac {partial rho }{partial t}}} 定义为电荷密度对于时间的偏导数， J {displaystyle mathbf {J} } 是电流密度， J ˙   = d e f   ∂ J ∂ t {displaystyle {dot {mathbf {J} }} {stackrel {def}{=}} {frac {partial mathbf {J} }{partial t}}} 定义为电流密度对于时间的偏导数， V ′ {displaystyle {mathcal {V}}'} 是体积分的空间， d 3 r ′ {displaystyle d^{3}mathbf {r} '} 是微小体元素。给予电荷密度分布 ρ ( r ′ , t ) {displaystyle rho (mathbf {r} ',,t)} 和电流密度分布 J ( r ′ , t ) {displaystyle mathbf {J} (mathbf {r} ',,t)} ，推迟标势 Φ ( r , t ) {displaystyle Phi (mathbf {r} ,,t)} 和推迟矢势 A ( r , t ) {displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} ,,t)} 分别用方程定义为（参阅推迟势）推迟时间 t r {displaystyle t_{r}} 定义为现在时间 t {displaystyle t} 减去光波传播的时间：其中， c {displaystyle c} 是光速。在这两个非静态的推迟势方程内，源电荷密度和源电流密度都跟推迟时间 t r {displaystyle t_{r}} 有关，而不是跟时间无关。推迟势与电场 E {displaystyle mathbf {E} } 、磁场 B {displaystyle mathbf {B} } 的关系分别为设定 R {displaystyle {boldsymbol {mathfrak {R}}}} 为从源位置到场位置的分离矢量：场位置 r {displaystyle mathbf {r} } 、源位置 r ′ {displaystyle mathbf {r} '} 和时间 t {displaystyle t} 都是自变数。分离矢量 R {displaystyle {boldsymbol {mathfrak {R}}}} 和其大小 R {displaystyle {mathfrak {R}}} 都是应变数，跟场位置 r {displaystyle mathbf {r} } 、源位置 r ′ {displaystyle mathbf {r} '} 有关。推迟时间 t r = t − R / c {displaystyle t_{r}=t-{mathfrak {R}}/c} 也是应变数，跟时间 t {displaystyle t} 、分离距离 R {displaystyle {mathfrak {R}}} 有关。推迟标势 Φ ( r , t ) {displaystyle Phi (mathbf {r} ,,t)} 的梯度是源电荷密度 ρ ( r ′ , t r ) {displaystyle rho (mathbf {r} ',,t_{r})} 的全微分是注意到所以，源电荷密度 ρ ( r ′ , t r ) {displaystyle rho (mathbf {r} ',,t_{r})} 的梯度是其中， ρ ˙ ( r ′ , t r ) {displaystyle {dot {rho }}(mathbf {r} ',,t_{r})} 定义为 ∂ ρ ( r ′ , t r ) ∂ t {displaystyle {frac {partial rho (mathbf {r} ',,t_{r})}{partial t}}} 。将这公式代入，推迟标势 Φ ( r , t ) {displaystyle Phi (mathbf {r} ,,t)} 的梯度是推迟矢势 A ( r , t ) {displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} ,,t)} 对于时间的偏导数为：综合前面这两个公式，可以得到电场的杰斐缅柯方程。同样方法，可以得到磁场的杰斐缅柯方程。对于任意介质，将前面所述电场和磁场的方程加以延伸，可以从电荷密度 ρ {displaystyle rho } 、电流密度 J {displaystyle mathbf {J} } 、电极化强度 P {displaystyle mathbf {P} } 、磁化强度 M {displaystyle mathbf {M} } ，计算出电场 E {displaystyle mathbf {E} } 、电势移 D {displaystyle mathbf {D} } 、磁感应强度 B {displaystyle mathbf {B} } 、磁场强度 H {displaystyle mathbf {H} } 。很多物理学家借着麦克斯韦方程组来诠释为什么含时电场与含时磁场会互相生成。这诠释常常会被纳入电磁波形成的理论。但是，杰斐缅柯方程显示出，实际上并不是这样。杰斐缅柯阐明：