样本方差

样本方差是依据所给样本对随机变量的方差做出的一个估计。

设 ${\displaystyle X_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,X_n}$ 是随机变量 ${\displaystyle X}$ 的 ${\displaystyle n}$ 个样本，则样本方差定义为：

其中 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}}$ 为样本均值。

根据该定义，可以得出：

若随机变量 ${\displaystyle X}$ 的期望为 ${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$、方差为 ${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}$，则样本方差的期望满足：

即样本方差是总体方差的无偏估计。

样本方差的定义中，分母的值为${\displaystyle n-<!--\; -\; -->1}$而非${\displaystyle n}$，一个重要原因即是这样定义的样本方差是总体方差的无偏估计。这被称为贝塞尔修正。

样本方差作为随机变量的（可测）函数，其本身也是一个随机变量。在某些特殊情况下样本方差的分布是已知的。例如，若${\displaystyle X_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,X_n}$是独立同分布的正态随机变量，均值和方差为${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$和${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}$，则${\displaystyle (n-<!--\; -\; -->1)s^2/{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}$服从自由度为${\displaystyle n-<!--\; -\; -->1}$的卡方分布。