首页 >
椭球体
✍ dations ◷ 2024-07-05 14:47:54 #椭球体
椭球是一种二次曲面,是椭圆在三维空间的推广。椭球在xyz-笛卡儿坐标系中的方程是:其中a和b是赤道半径(沿着x和y轴),c是极半径(沿着z轴)。这三个数都是固定的正实数,决定了椭球的形状。如果三个半径都是相等的,那么就是一个球;如果有两个半径是相等的,则是一个类球面。点(a,0,0)、(0,b,0)和(0,0,c)都在曲面上。从原点到这三个点的线段,称为椭球的半主轴。它们与椭圆的半长轴和半短轴相对应。使用球坐标系,其中
+
θ
′
{displaystyle {color {white}+}!!!theta {color {white}'},!}
是天顶角,
+
φ
−
{displaystyle {color {white}+}!!!varphi {color {white}!!!-},!}
是方位角,则椭球可以表示为以下的参数形式:使用地理坐标系,其中
β
{displaystyle beta ,!}
是一点的参数纬度,
+
λ
′
{displaystyle {color {white}+}!!!lambda {color {white}'},!}
是该点的经度:椭球的体积由以下公式给出:注意,当三个半径都相等时,这个公式便化为球的体积;两个半径相等时,便化为扁球面或长球面的体积。椭球的表面积由以下公式给出:其中与球的表面积不同,椭球的表面积一般不能用初等函数来表示。一个近似公式为:其中
p
≈
1.6075
{displaystyle papprox 1.6075,}
。这样相对误差最多为
1.061
{displaystyle 1.061,}
%(Knud Thomsen公式);
p
=
8
5
=
1.6
{displaystyle p={frac {8}{5}}=1.6,}
的值对于接近于球的椭球较为适宜,其相对误差最多为
1.178
{displaystyle 1.178,}
%(David W. Cantrell公式)。对于
a
=
b
{displaystyle a=b,}
的情况,有一个精确的公式:c
{displaystyle c,}
比
a
{displaystyle a,}
和
b
{displaystyle b,}
都小很多时,表面积近似等于
2
π
a
b
.
{displaystyle 2pi ab.,!}
。椭球与平面相交的横截面为椭圆。如右图所示,椭圆的两个直径
d
2
{displaystyle {d_{2}}}
与
d
1
{displaystyle {d_{1}}}
可表示为d
1
,
2
2
=
8
(
1
−
z
c
2
∑
i
=
1
3
r
i
2
sin
2
p
i
)
∑
i
=
1
3
cos
2
p
i
r
i
2
±
(
∑
i
=
1
3
cos
2
p
i
r
i
2
)
2
−
4
(
∑
i
=
1
3
r
i
2
sin
2
p
i
)
/
r
1
2
r
2
2
r
3
2
{displaystyle {d_{1,2}^{2}}={{8(1-{z_{c}^{2} over {sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}sin ^{2}p_{i}}})} over {sum _{i=1}^{3}{cos ^{2}p_{i} over {r_{i}^{2}}}}pm {sqrt {(sum _{i=1}^{3}{cos ^{2}p_{i} over {r_{i}^{2}}})^{2}-4(sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}sin ^{2}p_{i})/r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}}}}}如果我们对球使用可逆的线性变换,便可以得到一个椭球;它可以用旋转的方法来化成以上标准的形式,这是谱定理的结果。如果该线性变换用一个对称的3乘3矩阵来表示的话,那么这个矩阵的特征向量就是正交的(根据谱定理),它表示了轴的方向:而半轴的长度则由特征值给出。椭球与平面的交集是空集、一个点,或一个椭圆。我们也可以利用经过线性变换的球来定义多维空间的椭球,并使用谱定理来得出一个标准方程。均匀密度的椭球的质量为:其中
ρ
{displaystyle rho ,!}
是密度。均匀密度的椭球的转动惯量为:其中
I
x
x
{displaystyle I_{mathrm {xx} },!}
、
I
y
y
{displaystyle I_{mathrm {yy} },!}
和
I
z
z
{displaystyle I_{mathrm {zz} },!}
分别是关于x、y和z轴的转动惯量。惯性积为零。容易知道,如果a=b=c,那么上述公式便化为均匀密度的球的转动惯量。反过来,如果知道了一个任意刚体的质量和主惯性矩,那么就可以构造出一个等价的均匀密度的椭球,使用以下特征:鸡蛋的形状可以近似地认为是半个长球面与半个球在赤道处相拼合而成,共用一个旋转对称的主轴。虽然鸡蛋形通常意味着在赤道平面没有反射对称,它也可以用来指真正的长球面。它也可以用来描述相应的二维图形。参见鹅蛋形。
相关
- 格雷夫斯病弥漫性毒性甲状腺肿(Toxic diffuse goiter),又称格里夫氏症(Graves' disease),为一种主要侵犯甲状腺的自身免疫性疾病。此病为导致甲状腺功能亢进症最常见的原因,且会导致甲状腺肿
- 农业农业是美国的主要工业,同时美国也是一个粮食净出口国。根据2007年农业普查,美国有220万个农场,占地面积373万平方公里(9亿2200万英亩),平均每个农场占地169公顷(418英亩)。虽然每个
- 神庙希腊神庙(古希腊语:ὁ ναός,ho naós,“居所”;语义有别于拉丁文templum以及英文“temple”(“神庙、寺庙、庙宇”),也名为希腊神殿。在古希腊宗教中的希腊圣所内是为安座众神神
- 非凡电视台飞凡传播股份有限公司 (英语:Unique Broadcasting Inc),是台湾的一家有线电视台,由黄崧创立经营,主要制作财经相关节目。黄崧早期以新台币三十五万元起家卖书,之后创立非凡电视,靠着
- 竞业条款竞业条款(Business Strife Limitation Clause of Labor Contract),又称“同行竞业条款”或“竞业禁止条款”(non-compete clause),为雇主与受雇的员工之间所订的一种劳动契约,其内
- FOXP22A07, 2AS5· chromatin binding · double-stranded DNA binding · sequence-specific DNA binding transcription factor activity · sequence-specific enhancer bi
- 牙齿矫正器牙齿矫正器,又称齿列矫正器或俗称的牙套、牙箍,是齿列矫正所使用的一种装置,用来矫正牙齿至适当的咬合位置。矫正器通常被用来改善的咬合不良,包括戽斗、龅牙、前后牙错咬、开咬
- 声门音声门音,通称喉音,是指调音部位在声门的一类辅音。这类辅音往往表现出独特的性质。"摩擦音"不是真的摩擦音。这是历史上惯用的单词而已。他们另表示出喉音(发声(phonation(英语:Ph
- 诺谟图诺莫图(Nomogram)是一种利用图像来进行计算(查图)的工具,是一个二维的图像,用来进行非精确的计算。其使用的坐标系不同于笛卡尔坐标系。用另一种方式来解释,诺谟图是一个带有坐标的
- 煤烟煤烟(Soot,又称煙灰)是一种因碳氢化合物燃烧不完全而产生之成分不纯的碳粒子,泛指包括煤、石油焦等燃料在燃烧之后所残余的物质。煤烟被认为是全球暖化的第二主要成因。