椭球体

✍ dations ◷ 2025-06-07 09:53:11 #椭球体
椭球是一种二次曲面,是椭圆在三维空间的推广。椭球在xyz-笛卡儿坐标系中的方程是:其中a和b是赤道半径(沿着x和y轴),c是极半径(沿着z轴)。这三个数都是固定的正实数,决定了椭球的形状。如果三个半径都是相等的,那么就是一个球;如果有两个半径是相等的,则是一个类球面。点(a,0,0)、(0,b,0)和(0,0,c)都在曲面上。从原点到这三个点的线段,称为椭球的半主轴。它们与椭圆的半长轴和半短轴相对应。使用球坐标系,其中 + θ ′ {displaystyle {color {white}+}!!!theta {color {white}'},!} 是天顶角, + φ − {displaystyle {color {white}+}!!!varphi {color {white}!!!-},!} 是方位角,则椭球可以表示为以下的参数形式:使用地理坐标系,其中 β {displaystyle beta ,!} 是一点的参数纬度, + λ ′ {displaystyle {color {white}+}!!!lambda {color {white}'},!} 是该点的经度:椭球的体积由以下公式给出:注意,当三个半径都相等时,这个公式便化为球的体积;两个半径相等时,便化为扁球面或长球面的体积。椭球的表面积由以下公式给出:其中与球的表面积不同,椭球的表面积一般不能用初等函数来表示。一个近似公式为:其中 p ≈ 1.6075 {displaystyle papprox 1.6075,} 。这样相对误差最多为 1.061 {displaystyle 1.061,} %(Knud Thomsen公式); p = 8 5 = 1.6 {displaystyle p={frac {8}{5}}=1.6,} 的值对于接近于球的椭球较为适宜,其相对误差最多为 1.178 {displaystyle 1.178,} %(David W. Cantrell公式)。对于 a = b {displaystyle a=b,} 的情况,有一个精确的公式:c {displaystyle c,} 比 a {displaystyle a,} 和 b {displaystyle b,} 都小很多时,表面积近似等于 2 π a b . {displaystyle 2pi ab.,!} 。椭球与平面相交的横截面为椭圆。如右图所示,椭圆的两个直径 d 2 {displaystyle {d_{2}}} 与 d 1 {displaystyle {d_{1}}} 可表示为d 1 , 2 2 = 8 ( 1 − z c 2 ∑ i = 1 3 r i 2 sin 2 ⁡ p i ) ∑ i = 1 3 cos 2 ⁡ p i r i 2 ± ( ∑ i = 1 3 cos 2 ⁡ p i r i 2 ) 2 − 4 ( ∑ i = 1 3 r i 2 sin 2 ⁡ p i ) / r 1 2 r 2 2 r 3 2 {displaystyle {d_{1,2}^{2}}={{8(1-{z_{c}^{2} over {sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}sin ^{2}p_{i}}})} over {sum _{i=1}^{3}{cos ^{2}p_{i} over {r_{i}^{2}}}}pm {sqrt {(sum _{i=1}^{3}{cos ^{2}p_{i} over {r_{i}^{2}}})^{2}-4(sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}sin ^{2}p_{i})/r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}}}}}如果我们对球使用可逆的线性变换,便可以得到一个椭球;它可以用旋转的方法来化成以上标准的形式,这是谱定理的结果。如果该线性变换用一个对称的3乘3矩阵来表示的话,那么这个矩阵的特征向量就是正交的(根据谱定理),它表示了轴的方向:而半轴的长度则由特征值给出。椭球与平面的交集是空集、一个点,或一个椭圆。我们也可以利用经过线性变换的球来定义多维空间的椭球,并使用谱定理来得出一个标准方程。均匀密度的椭球的质量为:其中 ρ {displaystyle rho ,!} 是密度。均匀密度的椭球的转动惯量为:其中 I x x {displaystyle I_{mathrm {xx} },!} 、 I y y {displaystyle I_{mathrm {yy} },!} 和 I z z {displaystyle I_{mathrm {zz} },!} 分别是关于x、y和z轴的转动惯量。惯性积为零。容易知道,如果a=b=c,那么上述公式便化为均匀密度的球的转动惯量。反过来,如果知道了一个任意刚体的质量和主惯性矩,那么就可以构造出一个等价的均匀密度的椭球,使用以下特征:鸡蛋的形状可以近似地认为是半个长球面与半个球在赤道处相拼合而成,共用一个旋转对称的主轴。虽然鸡蛋形通常意味着在赤道平面没有反射对称,它也可以用来指真正的长球面。它也可以用来描述相应的二维图形。参见鹅蛋形。

相关

  • 路易氏体失智症路易氏体失智症(英语:Dementia with Lewy bodies,缩写为 DLB)是一种伴随着行为(英语:Behavior change (individual))、认知及活动功能退化(英语:Parkinsonism)的失智症,患者的记忆力虽
  • 衣原体属衣原体属(Chlamydia)原包括多种衣原体,现在分别划到衣原体门的几个科中,本属仅保留沙眼衣原体等两个种。
  • 皮质酮皮质酮(英语:Corticosterone,11β,21-二羟基孕烯-3,20-二酮)是一种糖皮质激素类二十一碳甾体激素,由肾上腺的皮质产生出来。类固醇生成(繁体)类固醇生成(简体)脱氧皮质酮醛固酮羊毛甾
  • 大阴唇大阴唇(Labia Majora)是女性生殖器的一部分。它位于两大腿内侧,是位于女阴两侧、阴阜下方的一对纵长的呈隆起状的皮肤皱襞,皮下含丰富的脂肪组织、弹性纤维及静脉丛,在会阴处相连
  • 电生理学在神经科学,电生理学是一门研究生物细胞或组织的电学特性的科学,主要研究神经元的电学特性,尤其是动作电位包括细胞膜电势变化与跨膜电流的调节。它涉及在多种尺度上从单个离子
  • 彼得·海恩彼得·杰拉尔德·海恩(Peter Gerald Hain,1950年2月16日-),又译韓培德,英国工党政治家,曾在布莱尔以及布朗政府任下议院领袖、就业及退休保障大臣及威尔士大臣等职。他在2008年承认
  • 教堂教堂是进行宗教仪式的场所,一般特指基督宗教,包括天主教、东正教、新教等;天主教的教堂又可称为“天主堂”;伊斯兰教进行宗教仪式的场所一般称为清真寺,犹太教从事宗教仪式和其它
  • 维伦多夫的维纳斯维伦多尔夫的维纳斯(Venus of Willendorf),一座11.1厘米(4又3/8英寸)高的女性小雕塑,1908年出土于考古学家约瑟夫·松鲍蒂(英语:Josef Szombathy)在奥地利的维伦多尔夫村(Willendorf)附
  • 钱百敦钱百敦(英语:Britton Chance,1913年7月24日-2010年11月16日),本名布立顿·强斯,美国科学家,宾夕法尼亚大学医学院物理化学与辐射物理学荣休教授,埃尔德里奇·里夫斯·约翰逊(Eldridge
  • 泛素泛素(英语:ubiquitin)是一种存在于大多数真核细胞中的小蛋白。它的主要功能是标记需要分解掉的蛋白质,使其水解。当附有泛素的蛋白质移动到桶状的蛋白酶的时候,蛋白酶就会将该蛋