对数正态分布

在概率论与统计学中，任意随机变量的对数服从正态分布,则这个随机变量服从的分布称为对数正态分布。如果 Y {displaystyle Y} 是正态分布的随机变量，则 exp ⁡ ( Y ) {displaystyle exp(Y)} （指数函数）为对数正态分布；同样，如果 X {displaystyle X} 是对数正态分布，则 ln ⁡ X {displaystyle ln X} 为正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。 对于 x > 0 {displaystyle x>0} ，对数正态分布的概率密度函数1为其中 μ {displaystyle mu } 与 σ {displaystyle sigma } 分别是变量对数的平均值与标准差。它的期望值是方差为给定期望值与方差，也可以用这个关系求 μ {displaystyle mu } 与 σ {displaystyle sigma }对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于 exp ⁡ ( μ ) {displaystyle exp(mu )} ，几何标准差等于 exp ⁡ ( σ ) {displaystyle exp(sigma )} 。如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。其中几何平均数 μ g e o = exp ⁡ ( μ ) {displaystyle mu _{mathrm {geo} }=exp(mu )} ，几何标准差 σ g e o = exp ⁡ ( σ ) {displaystyle sigma _{mathrm {geo} }=exp(sigma )}原始矩为：或者更为一般的矩随机变量 X {displaystyle X} 在阈值 k {displaystyle k} 上的局部期望定义为其中 f ( x ) {displaystyle f(x)} 是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为其中 Φ {displaystyle Phi } 是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用，著名的Black-Scholes期权定价公式便可由此推导出。为了确定对数正态分布参数 μ {displaystyle mu } 与 σ {displaystyle sigma } 的最大似然估计，我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看其中用 f L ( ⋅ ) {displaystyle f_{L}(cdot )} 表示对数正态分布的概率密度函数，用 f N ( ⋅ ) {displaystyle f_{N}(cdot )} — 表示正态分布。因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：由于第一项相对于 μ {displaystyle mu } 与 σ {displaystyle sigma } 来说是常数，两个对数最大似然函数 ℓ L {displaystyle ell _{L}} 与 ℓ N {displaystyle ell _{N}} 在同样的 μ {displaystyle mu } 与 σ {displaystyle sigma } 处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计