量子退火

✍ dations ◷ 2025-04-26 12:26:32 #最优化算法,算法

量子退火（英语：Quantum annealing ）是一种量子涨落特性的次经验算法（英语：Metaheuristic），可以在目标函数拥有多组候选解答的情况下，找到全局最优解。量子退火主要用于解决离散空间有多个局部最小值的问题(组合优化问题)，例如寻找自旋玻璃的基态。

量子退火首先从权重相同的所有可能状态（候选状态）的量子叠加态开始运行，接着物理系统依含时薛定谔方程开始量子演化。根据横向场的时间依赖强度，状态之间产生量子穿隧，使得所有候选状态的几率幅不断改变，实现量子并行性。若横向场的变化速度足够慢，则系统会保持在接近瞬时哈密顿量的基态，此即为绝热量子计算（英语：Adiabatic quantum computation）。若横场的变化速度加快，则系统可能会暂时离开基态，而最终问题哈密顿量的基态将会增加更多的可能性，此即非绝热量子计算(diabatic quantum computation)。横向场最终被关闭，并且预期系统已得到原优化问题的解，也就是到达相对应的经典易辛模型基态。在最初的理论被提出之后，随即有了随机磁体量子退火成功的实验证明。在一篇关于组合优化（NP困难）问题的介绍中，列入了基于量子退火算法的一般结构，用于求解max-SAT，最小multicut问题这类算法的两个实例，以及D-Wave 系统公司所制造的量子退火系统产品。

模拟退火法的“温度”参数可以类比量子退火的“隧道场强度”。在模拟退火中，温度决定了从单一当前状态转移到较高“能量”状态的概率。在量子退火中，横向场的强度决定了改变所有并行状态几率幅的量子力学几率。分析和数值证据表明量子退火在某些条件下优于模拟退火。

隧道场基本上是一个动能项，它不与原始玻璃的经典势能部分交换。整个过程可以利用量子蒙地卡罗（英语：Quantum_Monte_Carlo）(或其他随机技术)在计算机上进行模拟，从而得到寻找经典玻璃基态的启发式算法。

在对纯数学目标函数退火的例子中，可以将这个问题中的变量考虑为经典自由度，而代价函数(损失函数)则对应势能函数(经典哈密顿函数)。然后在哈密顿量中人为引入非交换变量(与原始数学问题变量拥有非零交换子的变量)组成的合适项，以发挥隧道场(动力学部分)的作用。这样就可以用前面构造出的量子哈密顿量(原始函数+非交换部分)进行模拟。退火的效率将取决于选择的非交换项。

在实验和理论上已经证明，在某些情况下，尤其在较浅的局部极小值被非常高但很薄的势垒(成本)围绕的例子中，量子退火确实优于热退火（模拟退火）。因为热跃迁概率(正比于 $e^{-{\frac {\Delta }{k_{B}T}}}$ $e^{-{\frac {\Delta }{k_{B}T}}}$ ， $T {\displaystyle T}$ $T$ 为温度， $k_{B}$ $k_{B}$ 为波兹曼常数)仅相依于能障高度 $\Delta$ $\Delta$ ，对于非常高的能障，热波动很难使系统从这样的局部最小值出来，然而在1989年Ray、Chakrabarti和Chakrabarti提出，对相同能障的量子穿隧几率不仅取决于势垒的高度 $\Delta$ $\Delta$ ，还取决于它的宽度 $w {\displaystyle w}$ $w$ ，几率大约为 $e^{-{\frac {{\sqrt {\Delta }}w}{\Gamma }}}$ $e^{-{\frac {{\sqrt {\Delta }}w}{\Gamma }}}$ ， $\Gamma$ $\Gamma$ 为穿隧场。若势垒够窄(即 $w\ll {\sqrt {\Delta }}$ $w\ll {\sqrt {\Delta }}$ )，则量子波动肯定会使系统脱离浅局部最小值，对于 $N {\displaystyle N}$ $N$ 自旋玻璃， $\Delta$ $\Delta$ 正比于 $N {\displaystyle N}$ $N$ ，对于横向场的线性退火，可以得到退火时间 $\tau$ $\tau$ 正比于 $e^{\sqrt {N}}$ $e^{\sqrt {N}}$ (不同于热退火， $\tau$ $\tau$ 正比于 $e^{N}$ $e^{N}$ )，甚至在 $w {\displaystyle w}$ $w$ 减少快于等于 $1/{\sqrt {N}}$ $1/\sqrt{N}$ 的情形下，变成与 $N {\displaystyle N}$ $N$ 无关的。

据推测，在量子计算机中，这种模拟比传统计算机更精确有效，因为它可以直接执行穿隧而不需手动添加。此外，因为没有用到传统量子算法中所用的量子纠缠，它可在不这么严格的错误控制下完成工作。

参见：D-Wave 系统公司

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