无穷递降法

无穷递降法，又名无穷递减法，是数学中证明方程无解的一种方法。

证明下列方程无正整数解:

证明:

假设该方程有正整数解。

设${\displaystyle a_1,b_1,s_1,t_1}$为最小的解。即

显然，${\displaystyle a_1}$和${\displaystyle b_1}$都必须能被3整除。设

我们得到

这是更小的解，与${\displaystyle a_1,b_1,s_1,t_1}$的最小性相矛盾。所以，原方程无正整数解。

假设${\displaystyle \sqrt{2}}$是有理数，即${\displaystyle p^2=2q^2}$有正整数解。
令${\displaystyle (p,q)}$是此方程的最小解
易知${\displaystyle p}$是偶数，从得${\displaystyle q}$是偶数
⇒
和${\displaystyle (p,q)}$是此方程的最小解矛盾，故无正整数解
⇒从得${\displaystyle \sqrt{2}}$是无理数