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渐伸线

✍ dations ◷ 2025-03-06 17:12:24 #曲线

渐伸线（involute）(或称渐开线(evolvent))和渐屈线（evolute）是曲线的微分几何上互为表里的概念。若曲线A是曲线B的渐伸线，曲线B是曲线A的渐屈线。

在曲线上选一定点。有一动点由出发沿曲线移动，选在的切线上的，使得曲线长和直线段长相同。渐伸线就是Q的轨迹。

若曲线B有参数方程 $r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ 是参数，而sech是双曲正割函数(1/cosh(x))

用 $r(s)=(\sinh ^{-1}(s),\cosh(\sinh ^{-1}(s)))\,$ 摆线的渐开线是另一个与它全等的摆线在笛卡儿坐标系中，一个摆线的渐开线的参数方程可以写成：

其中是角度，是半径

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