集合域

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:14:52 #布尔代数,集合族,测度论

在集合代数中,域,或者代数,是指一种有序对 ( Ω , F ) {\displaystyle \,(\Omega ,{\mathcal {F}})\,} ,其中 Ω {\displaystyle \Omega } 是集合, F {\displaystyle \,{\mathcal {F}}\,} 是由集合 Ω {\displaystyle \Omega } 的一些子集构成的一种集类,它满足 Ω {\displaystyle \Omega } 自身是它的元素,且对加法(有限并)封闭和乘法(有限交)及逆(余集)运算封闭。在这样的集类中,空集类似于 0,因为和它相加(并)的任何集合结果还是自身;全集相当于 1,因为和它相乘(并)的任何集合还是自身。

也可把满足上诉条件的集类 F {\displaystyle \,{\mathcal {F}}\,} 称为域或代数

非空集类 F P ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )} 若满足以下条件:

则称其为 Ω {\displaystyle \Omega } 上的一个代数。

或者可以把代数定义为有元素 Ω {\displaystyle \Omega } 和空集、对有限交(或有限并)和余集运算封闭的 Ω {\displaystyle \Omega } 的子集类,这两者是等价的。

无论从哪个定义出发,利用德摩根定律和集合交与并运算的分配律,都可列出代数具有如下性质:空集和全集是它的元素、对有限并和有限交封闭、对补集运算封闭、对差集运算封闭。

一个代数也一定是一个环。用可列不交并封闭一个代数,将得到一个σ-代数:5,而后者是数学严格化测度论与概率论非常重要的一种集类。

其中用可列不交并封闭一个代数 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 得到的新集类定义是:

集合域在布尔代数的表示理论中扮演中心角色。所有布尔代数都可以被表示为集合域。

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