正则变换

在哈密顿力学里，正则变换（canonical transformation）是一种正则坐标的改变，${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p})\to <!--\; \to \; -->(\mathbf{Q},\mathbf{P})}$，而同时维持哈密顿方程的形式，虽然哈密顿量可能会改变。正则变换是哈密顿-亚可比方程与刘维尔定理的基础。

点变换（point transformation）将广义坐标${\displaystyle \mathbf{q}=(q_1,q_2,\dots <!--\; \dots \; -->,q_N)}$变换成广义坐标${\displaystyle \mathbf{Q}=(Q_1,Q_2,\dots <!--\; \dots \; -->,Q_N)}$，点变换方程的形式为

其中，${\displaystyle t}$是时间。

在哈密顿力学里，由于广义坐标与广义动量${\displaystyle \mathbf{p}=(p_1,p_2,\dots <!--\; \dots \; -->,p_N)}$同样地都是自变量（independent variable），点变换的定义可以加以延伸，使变换方程成为

其中，${\displaystyle \mathbf{P}=(P_1,P_2,\dots <!--\; \dots \; -->,P_N)}$是新的广义动量。

为了分辨这两种不同的点变换，称前一种点变换为位形空间点变换，而后一种为相空间点变换。

在哈密顿力学里，正则变换将一组正则坐标${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p})}$变换为一组新的正则坐标${\displaystyle (\mathbf{Q},\mathbf{P})}$，而同时维持哈密顿方程的形式（称为形式不变性）。原本的哈密顿方程为

新的哈密顿方程为

其中，${\displaystyle \mathcal{H}(\mathbf{q},\mathbf{p},t)}$、${\displaystyle \mathcal{K}(\mathbf{Q},\mathbf{P},t)}$分别为原本的哈密顿量与新的哈密顿量。

思考一个物理系统的哈密顿量

假设哈密顿量跟其中一个广义坐标${\displaystyle q_i}$无关，则称${\displaystyle q_i}$为可略坐标（ignorable coordinate），或循环坐标（cyclic coordinate）：

在哈密顿方程中，广义动量对于时间的导数是

所以，广义动量${\displaystyle p_i}$是常数${\displaystyle k_i}$。

假设一个系统里有${\displaystyle n}$个广义坐标是可略坐标。找出这${\displaystyle n}$个可略坐标，则可以使这系统减少${\displaystyle 2n}$个变数；使问题的困难度减少很多。正则变换可以用来寻找这一组可略坐标。

采取一种间接的方法，称为生成函数方法，从${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p},\mathcal{H})}$变换到${\displaystyle (\mathbf{Q},\mathbf{P},\mathcal{K})}$。为了要保证正则变换的正确性，第二组变数必须跟第一组变数一样地遵守哈密顿原理

那么，必须令

其中，${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$是标度因子，${\displaystyle G}$是生成函数。

假若一个变换涉及标度因子，则称此变换为标度变换（scale transformation）。一般而言，标度因子不一定等于1。假若标度因子不等于1，则称此正则变换为延伸正则变换（extended canonical transformation）；假若标度因子等于1，则称为正则变换。

任何延伸正则变换都可以修改为正则变换。假设一个${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->1}$的延伸正则变换表示为

则可以设定另外一组变数与哈密顿量：${\displaystyle \mathbf{Q}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\mathbf{Q}}^{\prime }}$、${\displaystyle \mathbf{P}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{\mathbf{P}}^{\prime }}$、${\displaystyle \mathcal{K}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathcal{K}{}^{\prime }}$、${\displaystyle G=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}G{}^{\prime }}$；其中，${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$是用来删除${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$的常数，${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=\frac{1}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}$。经过一番运算，可以得到

显然地，这变换符合哈密顿方程。所以，任何延伸正则变换都可以改变为正则变换。

假若正则变换不显性含时间，则称为设限正则变换（restricted canonical transformation）。

生成函数${\displaystyle G}$的参数，除了时间以外，一半是旧的正则坐标；另一半是新的正则坐标。视选择出来不同的变数而定，一共有四种基本的生成函数。每一种基本生成函数设定一种变换，从旧的一组正则坐标变换为新的一组正则坐标。这变换${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p})\to <!--\; \to \; -->(\mathbf{Q},\mathbf{P})}$保证是正则变换。

第一型生成函数${\displaystyle G_1}$只跟旧广义坐标、新广义坐标有关，

代入方程（1）。展开生成函数对于时间的全导数，

新广义坐标${\displaystyle \mathbf{Q}}$和旧广义坐标${\displaystyle \mathbf{q}}$都是自变量，其对于时间的全导数${\displaystyle \stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{Q}}}$和${\displaystyle \stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{q}}}$互相无关，所以，以下${\displaystyle 2N+1}$个方程都必须成立：

这${\displaystyle 2N+1}$个方程设定了变换${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p})\to <!--\; \to \; -->(\mathbf{Q},\mathbf{P})}$，步骤如下：

第一组的${\displaystyle N}$个方程（2），设定了${\displaystyle \mathbf{p}}$的${\displaystyle N}$个函数方程

在理想情况下，这些方程可以逆算出${\displaystyle \mathbf{Q}}$的${\displaystyle N}$个函数方程

第二组的${\displaystyle N}$个方程（3），设定了${\displaystyle \mathbf{P}}$的${\displaystyle N}$个函数方程

代入函数方程（5），可以算出${\displaystyle \mathbf{P}}$的${\displaystyle N}$个函数方程

从${\displaystyle 2N}$个函数方程（5）、（6），可以逆算出${\displaystyle 2N}$个函数方程

代入新哈密顿量${\displaystyle \mathcal{K}}$的方程（4），可以得到

第二型生成函数${\displaystyle G_2}$的参数是旧广义坐标${\displaystyle \mathbf{q}}$、新广义动量${\displaystyle \mathbf{P}}$ 与时间：

以下${\displaystyle 2N+1}$方程设定了变换${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p})\to <!--\; \to \; -->(\mathbf{Q},\mathbf{P})}$：

第三型生成函数${\displaystyle G_3}$ 的参数是旧广义动量${\displaystyle \mathbf{p}}$、新广义坐标${\displaystyle \mathbf{Q}}$与时间：

以下${\displaystyle 2N+1}$方程设定了变换${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p})\to <!--\; \to \; -->(\mathbf{Q},\mathbf{P})}$：

第四型生成函数${\displaystyle G_4(\mathbf{p},\mathbf{P},t)}$的参数是旧广义动量${\displaystyle \mathbf{p}}$、新广义动量${\displaystyle \mathbf{P}}$与时间：

以下${\displaystyle 2N+1}$方程设定了变换${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p})\to <!--\; \to \; -->(\mathbf{Q},\mathbf{P})}$：

第一型生成函数有一个特别简易案例：

生成函数的导数分别为

旧的哈密顿量与新的哈密顿量相同：

再举一个比较复杂的例子。让

这里，${\displaystyle \mathbf{g}}$是一组${\displaystyle N}$个函数。

答案是一个广义坐标的点变换，

正则变换必须满足哈密顿方程不变；哈密顿方程为正则变换的一个不变式。另外，正则变换也有几个重要的不变量。

辛标记提供了一种既简单，又有效率的标记方法来展示方程及数学运算。设定一个${\displaystyle 2N\times <!--\; \times \; -->1}$的竖矩阵${\displaystyle \mathit{\xi <!--\; \xi \; -->}}$ :

变数矢量${\displaystyle \mathit{\xi <!--\; \xi \; -->}}$将${\displaystyle \mathbf{q}}$与${\displaystyle \mathbf{p}}$包装在一起。这样，哈密顿方程可以简易的表示为

这里，${\displaystyle \mathbf{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$是辛连结矩阵、${\displaystyle \mathcal{H}}$是哈密顿量。

应用辛标记于正则变换，正则坐标会从旧正则坐标${\displaystyle \mathit{\xi <!--\; \xi \; -->}}$