勒让德变换

勒让德变换（英语：Legendre transformation）是一个在数学和物理中常见的技巧，得名于阿德里安-马里·勒让德（Arien-Marie Legendre）。该操作是一个实变量的实值凸函数的对合变换。它经常用于经典力学中从拉格朗日形式到哈密顿形式的推导、热力学中热力学势的推导以及多变量微分方程的求解。

为了研究一个系统内部蕴藏的数学结构，表述此系统的函数关系 ${\displaystyle f(x)}$ ⊂ ℝ和凸函数 : → ℝ，则其勒让德变换为函数 : → ℝ，

其中${\displaystyle sup}$()为凸函数时，这个函数有良好的定义。

不难将勒让德变换推广到定义在凸集 ⊂ ℝ 上的凸函数 : → ℝ：其变换 : → ℝ为定义在

上的函数

其中${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->x^{\ast <!--\; \ast \; -->},x⟩<!--\; ⟩\; -->}$*和 x的点积。

对于实轴上具有可逆一阶导数的凸函数${\displaystyle f}$与 ln 互为反函数。

在热力学里，使用勒让德变换主要的目的是，将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有的一个新自变量，（此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数）；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的差就是新函数。勒让德变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。例如，内能 ${\displaystyle U}$ 是外延量（extensive）熵 ${\displaystyle S}$ ，体积 ${\displaystyle V}$ ，与化学成分（chemical composition）${\displaystyle N_i}$ 的显函数

对于 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->PV}$ ，函数 ${\displaystyle U}$ （非标准的）勒让德变换为焓函数 ${\displaystyle H}$ ：

一个熵与内含量（intensive）压强的函数。当压强是常数时，这函数很有用。

对于 ${\displaystyle TS}$ ，函数 ${\displaystyle H}$ 勒让德变换为吉布斯能函数 ${\displaystyle G}$ :

对于 ${\displaystyle TS}$ ，函数 ${\displaystyle U}$ 勒让德变换为亥姆霍兹自由能函数 ${\displaystyle A}$ :

这些自由能函数时常用在常温的物理系统。

在经典力学里，勒让德变换专门用来从拉格朗日表述导引出哈密顿表述，或反导之。拉格朗日量 ${\displaystyle \mathcal{L}}$ 是广义坐标 ${\displaystyle \mathbf{q}=(q_1,q_2,\dots <!--\; \dots \; -->,q_N)}$ 与广义速度 ${\displaystyle \stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{q}}}$ 的函数；而哈密顿量 ${\displaystyle \mathcal{H}}$ 将函数的自变量转换为广义坐标 ${\displaystyle \mathbf{q}}$ 与广义动量 ${\displaystyle \mathbf{p}=(p_1,p_2,\dots <!--\; \dots \; -->,p_N)}$ ：

正则变换广泛地应用勒让德变换在其理论里。正则变换是一种正则坐标的改变，${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p})\to <!--\; \to \; -->(\mathbf{Q},\mathbf{P})}$ ，而同时维持哈密顿方程的形式，虽然哈密顿量可能会改变。正则变换的方程为

这里，${\displaystyle \mathbf{q},\mathbf{p}}$ 是旧正则坐标，${\displaystyle \mathbf{Q},\mathbf{P}}$ 是新正则坐标，${\displaystyle \mathcal{H}}$ 是旧哈密顿量，${\displaystyle \mathcal{K}}$ 是新哈密顿量，${\displaystyle G}$ 是生成函数。