外自同构群

✍ dations ◷ 2025-11-23 17:11:52 #群论

抽象代数的群论中，群的外自同构群Out()是自同构群Aut()对内自同构群Inn()的商群Aut()/Inn()。

的一个自同构如不是内自同构，便称为外自同构。外自同构群Out()的元素是的内自同构子群Inn()在自同构群Aut()中的陪集，故其元素不是外自同构，同一元素可对应到某个外自同构和任何内自同构的复合，因此不能定义的外自同构群于上的作用。不过因为内自同构都将群的元素映射到同共轭类的元素，所以可定义出外自同构群在的共轭类上的作用。

然而，若为阿贝尔群，则的内自同构群是平凡群，于是Out()可以自然地等同于Aut()，即是Out()的每个元素都对应唯一的自同构，因此Out()可以作用于上。（而这时的共轭类也各仅有一个元素。）

群的外自同构群，在下述意义下可以视为对偶于的中心Z()：的元素所对应的共轭作用 $x\mapsto gxg^{-1}$ 的中心，而余核是的外自同构群（因这映射的像是的内自同构群）。这关系可用正合列表示：

如果一个群只有平凡外自构群和平凡中心，即 $\sigma$ $\sigma$ 为群同构时，称之为完备群。

施赖埃尔猜想指任何有限单群的外自同构群，都是可解的。按照有限单群分类去逐一检验，这项猜想已得证，但至今未有直接证明。

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