线面交点

在解析几何中, 一条直线与一个平面的交点可能是空集、一个点或一条直线。在计算机图形学、运动规划和碰撞检测中，经常需要分析相交类型，以及计算出点坐标或线的方程。

空间中一个平面可以表示为点 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 的集合

其中 ${\displaystyle \mathbf{n}}$ 是该平面的法线，${\displaystyle {\mathbf{p}}_{\mathbf{0}}}$是平面上任意一点。（${\displaystyle \mathbf{a}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{b}}$表示向量 ${\displaystyle \mathbf{a}}$ 和 ${\displaystyle \mathbf{b}}$ 的数量积）

而直线可表示为

其中 ${\displaystyle \mathbf{l}}$是该直线的方向向量，${\displaystyle {\mathbf{l}}_{\mathbf{0}}}$是直线上任意一点，${\displaystyle d}$是实数范围内的标量。将直线方程代入平面方程得

展开得

解得 ${\displaystyle d}$

若 ${\displaystyle \mathbf{l}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{n}=0}$，则直线与平面平行。此时，如果(${\displaystyle {\mathbf{p}}_{\mathbf{0}}-<!--\; -\; -->{\mathbf{l}}_{\mathbf{0}})\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{n}=0}$，则该直线在平面内，即直线上所有的点都是交点。否则，直线与平面没有交点。

若 ${\displaystyle \mathbf{l}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{n}\ne <!--\; \ne \; -->0}$，则直线与平面有且只有一个交点。解得 ${\displaystyle d}$，则交点的坐标为

空间中一条直线可以用一个点和一个给定的方向来描述。则一条直线可以表示为如下点的集合

其中 ${\displaystyle {\mathbf{l}}_a=(x_a,y_a,z_a)}$ 和 ${\displaystyle {\mathbf{l}}_b=(x_b,y_b,z_b)}$ 是直线上两个不同的点。

相似地，一个平面可以表示为如下点的集合

其中 ${\displaystyle {\mathbf{p}}_k=(x_k,y_k,z_k)}$，${\displaystyle k=0,1,2}$ 是平面上不共线的三个点。

直线和平面的交点可以表示为将直线上的点代入平面方程内，则参数方程如下：

即

用矩阵表示为

可得点的坐标为

若直线与平面平行或在平面内，那么向量 ${\displaystyle {\mathbf{l}}_b-<!--\; -\; -->{\mathbf{l}}_a}$，${\displaystyle {\mathbf{p}}_1-<!--\; -\; -->{\mathbf{p}}_0}$ 及 ${\displaystyle {\mathbf{p}}_2-<!--\; -\; -->{\mathbf{p}}_0}$是线性独立的，且矩阵为奇异矩阵。

若满足 ${\displaystyle t\in <!--\; \in \; -->}$，则交点在直线上 ${\displaystyle {\mathbf{l}}_a}$ 与 ${\displaystyle {\mathbf{l}}_b}$ 之间。

若满足

则交点位于平面上 ${\displaystyle {\mathbf{p}}_0}$，${\displaystyle {\mathbf{p}}_1}$ 及 ${\displaystyle {\mathbf{p}}_2}$所构成的三角形中。

该问题可用矩阵的形式表示解答：

在计算机图形学中的光线追踪算法中，一个面可以被表示为几个平面的集合。一个面的图像可以用光线与每个面的交点表达。在基于视觉的三维重建中（计算机视觉的一个子场），深度通常是由“三角测量法”测算的。