Wess-Zumino-Witten模型

理论物理 与 数学中， Wess-Zumino-Witten (WZW) 模型，又称Wess-Zumino-Novikov-Witten model，乃一简单之 共形场论，其解可以用仿射李代数表达。其名来自 Julius Wess、Bruno Zumino、Sergei P. Novikov 与 Edward Witten。

设为紧致单连通李群，设为其李代数。设γ为黎曼球面${\displaystyle S^2}$-值场

Wess-Zumino-Witten 模型是γ所定义之非线性 sigma 模型，其作用为

其中首项为量子场论中常见之动量项，重复指标相加，度量为欧几里得度量， ${\displaystyle \mathcal{K}}$上之Killing 二次式，而${\displaystyle {\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$WZ 项人称 ，其定义为

其中 为交换子，${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}^{ijk}}$=1,2,3，${\displaystyle y^i}$之基向量，则${\displaystyle \mathcal{K}(e_a,)}$ 之 结构常数。结构常数是反对称的，因而定义了一G 上一个三次微分形式。故上述积分实为球${\displaystyle B^3}$、其拉回为 ${\displaystyle {\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$需符合以下“量子条件”：

${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_3(G)=\mathbb{Z}}$为一整数——黏合后影射之卷绕数。两种延拓会带来相同的物理系统，若

是故，耦合常数必须为整数。当是半单李群，或不连通紧致群， 则由每一连通部所给之一整数构成此阶（level）。

此拓扑障碍亦可以相应之仿射李代数之表示论体现。 当每一阶为一整数，则存在该仿射李代数之酉最高权表示，而其最高权为 dominant integral。此等表示是可积表示。

我们亦常遇相应于一非紧致单李群－例如 SL(2,R)－之 WZW 模型。Juan Maldacena 与 Hirosi Ooguri 以此描述三维反 de sitter 空间上之弦理论。此时 π₃(SL(2,R))=0，故不存在拓扑障碍，而其阶亦不必为整数。

上述各 WZW 模型俱定义于黎曼球面上。我们亦可定义一般紧致黎曼曲面上之场γ。