理想 (环论)

环同态

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代数数论

P进数

代数几何

非交换代数几何（英语：Noncommutative algebraic geometry）

自由代数（英语：Free algebra）

克利福德代数

理想（Ideal）是一个环论中的概念。若某环之一子集与原先的加法自成一群，且该子环内所有元素与原环之元素相乘的结果均在其内，则称其为原环的理想。通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。理想把整数的某些子集，例如偶数或3的倍数组成的集合给一般化了。两个偶数相加或相减结果仍是偶数，偶数与任意整数相乘的结果也仍是偶数；这些闭包和吸收的性质正是理想的定义。理想可以被用来构造商环，这类似于在群论里，正规子群可以被用来构造商群。

环(R,+,·)，已知(R, +)是阿贝尔群。R的子集I称为R的一个右理想，若I满足：

类似地，I称为R的左理想，若以下条件成立：

若I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称R上的理想。

如果 ${\displaystyle A}$ 是环 ${\displaystyle R}$ 的一个非空子集，令 ${\displaystyle ⟨A⟩=RA+AR+RAR+\mathbb{Z}A}$, 其中

${\displaystyle \mathbb{Z}A=\left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{m}_i{a}_i:m_i\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z},a_i\in <!--\; \in \; -->A,n\ge <!--\; \ge \; -->1\right\};}$

${\displaystyle RA=\left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{r}_i{a}_i:r_i\in <!--\; \in \; -->R,a_i\in <!--\; \in \; -->A,n\ge <!--\; \ge \; -->1\right\};}$

${\displaystyle AR=\left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{r}_i:r_i\in <!--\; \in \; -->R,a_i\in <!--\; \in \; -->A,n\ge <!--\; \ge \; -->1\right\};}$

${\displaystyle RAR=\left\{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{r}_i{a}_i{r}_i^{\prime }:r_i,r_i^{\prime }\in <!--\; \in \; -->R,a_i\in <!--\; \in \; -->A,n\ge <!--\; \ge \; -->1\right\},}$

则 ${\displaystyle ⟨A⟩}$ 是环 ${\displaystyle R}$ 的理想，这个理想称为 ${\displaystyle R}$ 中由 ${\displaystyle A}$ 生成的理想，${\displaystyle A}$ 称为生成元集。同群的生成子群类似，${\displaystyle ⟨A⟩}$ 是 ${\displaystyle R}$ 中所有包含 ${\displaystyle A}$ 的理想的交，因此是 ${\displaystyle R}$ 中包含 ${\displaystyle A}$ 的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：

设集合A = {a₁,a₂,...,a_n}，则记<A> = <a₁,a₂,...,a_n>，称${\displaystyle ⟨A⟩}$是有限生成理想。特别当${\displaystyle A=\left\{a\right\}}$是单元素集时，称${\displaystyle ⟨A⟩=⟨a⟩}$为环R的主理想。注意${\displaystyle \left\{a\right\}}$作为生成元一般不是唯一的，如${\displaystyle ⟨a⟩=⟨-<!--\; -\; -->a⟩}$。${\displaystyle ⟨a⟩}$的一般形式是：