微分同胚

✍ dations ◷ 2025-07-04 11:14:15 #微分几何,微分拓扑学,同胚,光滑函数,数学物理

在数学中,微分同胚是适用于微分流形范畴的同构概念。这是从微分流形之间的可逆映射,使得此映射及其逆映射均为光滑(即无穷可微)的。

对给定的两个微分流形 M , N {\displaystyle M,N} ,若对光滑映射 f : M N {\displaystyle f:M\to N} ,存在光滑映射 g : N M {\displaystyle g:N\to M} 使得 f g = i d N {\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{N}} g f = i d M {\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{M}} ,则称 f {\displaystyle f} 为微分同胚。此时逆映射 g {\displaystyle g} 是唯一的。

若在微分流形 M , N {\displaystyle M,N} 之间存在微分同胚,则称 M {\displaystyle M} N {\displaystyle N} 是微分同胚的,通常记为 M N {\displaystyle M\simeq N}

对于 C r {\displaystyle C^{r}} 流形,可采同样办法定义 C r {\displaystyle C^{r}} 微分同胚之概念。

考虑

此微分同胚可由下述映射给出:

对维度 3 {\displaystyle \leq 3} 的流形,可证明同胚的流形必为微分同胚;换言之,此时流形上的拓扑结构确定了微分结构。在四维以上则存在反例,最早的构造是约翰·米尔诺的七维怪球,米尔诺更证明了七维球上恰有28种微分流形结构,它们都可表成某个在 S 4 {\displaystyle S^{4}} 上的 S 3 {\displaystyle S^{3}} -丛。在1980年代,西蒙·唐纳森与迈克尔·哈特利·弗里德曼的证明在 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 上有不可数个相异的微分结构。

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