牛顿恒等式

✍ dations ◷ 2025-10-24 14:10:15 #伽罗瓦理论,数学恒等式,线性代数,群论,艾萨克·牛顿

数学中,牛顿恒等式(英语:Newton's identities)描述了幂和对称多项式和初等对称多项式此两种对称多项式之间的关系。

牛顿在不知道阿尔伯特‧吉拉德(英语:Albert Girard)先前的成果下,于约1666年发现这些恒等式。这些恒等式目前已被应用在许多数学领域,如伽罗瓦理论、不变量理论、群论、组合学,也被进一步应用于数学之外,如广义相对论。

1, ..., 为变量, 定义  ≥ 1 且 (1, ..., ) 为阶 幂和:

对于 ≥ 0 定义 (1, ..., ) 为 初等对称多项式,所以

那么牛顿恒等式可以表示为

对于所有的  ≥ 1 以及  ≥ ≥ 1.

另外对于所有 >  ≥ 1.

我们可以带入前几个得到前几个式子

这些方程的形式和正确与否并不取决于变数的数量,这使得可以在对称函数环中将它们称为恒等式。在这个环之中我们有


在这里,永远不会为零。这些等式允许以递归地表示

一般的,我们有

对于所有的  ≥ 1 以及  ≥ ≥ 1。另外对于所有 >  ≥ 1。我们有

相关

  • 恶性高热恶性高热、致命高热(英语:Malignant hyperthermia (MH))是病人因全身麻醉而导致的严重反应,是因为使用特定全身麻醉药而引发的罕见危及生命病症(英语:life-threatening condition),
  • 边缘运算边缘运算(英语:Edge computing),又译为边缘计算,是一种分散式运算的架构,将应用程序、数据资料与服务的运算,由网络中心节点,移往网络逻辑上的边缘节点来处理。边缘运算将原本完全由
  • 磷酸二酯酶磷酸二酯酶(英语:Phosphodiesterase,简称为PDE)能够水解磷酸二酯键。由于在细胞内生化途径的广泛运用,磷酸二酯酶通常指的是环核苷酸磷酸二酯酶,将环状核苷酸,也就是细胞内第二信使
  • 帝国烟草帝国烟草(英语:Imperial Tobacco)是一家总公司设于英国布里斯托尔的跨国烟草公司。帝国烟草是全球第四大香烟生产商,旗下拥有包括大卫杜夫(Davidoff)、威仕(英语:West (cigarette))(We
  • 法图拉·居连穆罕默德·法图拉·居连(土耳其语:Muhammed Fethullah Gülen,1941年4月27日-),又译费特胡拉·居伦、法图拉·葛兰,土耳其埃尔祖鲁姆人,为当代穆斯林世界的重要思想家,居连运动的精神
  • 娜杰日达·康斯坦丁诺芙娜·克鲁普斯卡娅娜杰日达·康斯坦丁诺芙娜·克鲁普斯卡娅(俄语:Надежда Константиновна Крупская;1869年2月26日-1939年2月27日),列宁的妻子和遗孀,一位俄国布尔什维
  • 坎贝尔侏儒仓鼠坎贝尔侏儒仓鼠(学名:)俗称一线鼠、蒙古仓鼠或俄罗斯仓鼠,是侏儒仓鼠的一个物种,原产自中亚草原和半干旱地区,同时在阿尔泰山脉、俄罗斯某些地区、中国的河北和黑龙江等北部省份亦
  • 劳动党 (韩国)2008年3月16日 (2008-03-16)(进歩新党) 劳动党是韩国的一个左翼社会主义政党。在新进步党、社会党合并之后,它的名字改为劳动党(不同于朝鲜劳动党)。 它于2013年7月21日举行了
  • 谢尔盖·费奥多罗维奇·阿赫罗梅耶夫谢尔盖·费奥多罗维奇·阿赫罗梅耶夫(俄语:Сергей Фёдорович Ахромеев,1923年5月5日-1991年8月24日),苏联军事人物,1983年被授予苏联元帅军衔。他任苏军第
  • 尉礼贤理查德·威廉(德语:Richard Wilhelm,1873年6月10日-1930年3月2日),汉名卫希圣,字礼贤,亦作卫礼贤,生于德国斯图加特,为基督教同善会传教士,著名汉学家。他曾将多本中文著作译为德文,再转