闵可夫斯基空间

在数学物理学中，闵可夫斯基空间（或称闵考斯基时空）是指由三维欧几里德空间与时间组成的四维流形，其中任意两个事件之间的时空间隔与所依照的惯性系无关。尽管赫尔曼·闵可夫斯基一开始是为了电磁理论的麦克斯韦方程组而发展这一理论，但闵可夫斯基时空的结构却可以从狭义相对论的公设直接推出。

闵可夫斯基空间与阿尔伯特·爱因斯坦的狭义相对论紧密相关，并且是狭义相对论最为常用的数学表述结构。欧几里德空间的单个分量以及时间可能会因为长度收缩以及时间膨胀等效应而发生变化，在闵可夫斯基空间中，不同参考系中两个事件间的时空总距离则都是一致的。不过由于时间维度与三个空间维度的处理方式仍存在不同之处，闵可夫斯基空间与四维欧几里德空间仍是不同的。

在三维欧几里德空间（比如伽利略相对性原理中的空间）中，欧几里德群（英语：Euclidean group）是其中的等距群（即可以保证正则欧几里德距离不变的映射）。它是由旋转、反射以及平移生成的。当将时间作为第四个维度考虑在内时，时间的平移以及伽利略递升（英语：Galilean boost）就需要考虑在内。由上述提及的变换所构成的群称作伽利略群。所有的伽利略变换保证三维欧几里德距离不变。这个距离只是空间上的距离。时间则独立于空间，同时保持不变。在狭义相对论中，空间和时间则会互相影响。

闵可夫斯基空间对于时空的表述是借助不定非退化双线性形式完成的。这一形式在下文中会依据语境不同被叫作“闵可夫斯基度规”、“闵可夫斯基范数平方”或是“闵可夫斯基内积”闵可夫斯基内积是在两个事件的坐标差矢量作为自变量时对时空间隔定义的。在引入这种内积后，时空的数学模型就被叫作闵可夫斯基空间。对应于伽利略群，闵可夫斯基时空中保证时空间隔不变的变换群叫作“庞加莱群”。

总体而言，伽利略时空与闵可夫斯基时空在被看作流形时是完全相同的。他们之所以不同是因为定义于其上的结构是不同的。前者有的是欧几里德距离，独立于空间的时间以及由伽利略变换相互关联的惯性系，而后者有的是闵可夫斯基度规和由洛伦兹变换相互关联的惯性系。

亨利·庞加莱在1905年至1906年间发现当将时间作为一个虚坐标（其中c为光速，i是虚数单位）并与三个表示空间的实坐标共同组成四维时空时，洛伦兹变换就可以看作是这一时空中的坐标旋转。狭义相对论可以保证这个量：

注：此处及以下公式使用了几何单位制，即令c=1的单位制，所以在这种单位制下t和x,y,z量纲相同。

在两个惯性系间的坐标变换，也就是洛伦兹变换，前后保持不变。这里对于光速c依照庞加莱的做法做了归一处理。在由他提出的空间中，坐标空间是通过(, , , ) ↦ (, , , )构造的。洛伦兹变换在坐标空间中作为普通的旋转变换保证

不变。后一种表述可以让前面的表述更为容易理解，但两式中t所表示的意义不同（前者表示的惯性系中测得的固有时间本身，后者表示的时间坐标）也可能会造成混淆。

无论是在坐标空间还是在实际的时空中，在由两个空间单位矢量确定的平面中的旋转就是通常意义上的旋转。不过当那个平面是由一个时间单位矢量以及一个空间单位矢量确定的时候，其中的“旋转”称作洛伦兹递升（英语：Lorentz boost），与欧几里德旋转就不那么相似了。

赫尔曼·闵可夫斯基基于这一构想在四维空间中重新阐释了麦克斯韦方程组，并展示了其在洛伦兹变换前后的不变性。他又进一步在四维空间中重新表述了爱因斯坦的狭义相对论，由此总结出时间与空间应该做相同的处理，并提出了事件是在一个统一的四维时空连续统中发生的概念。

1908年，在有关“空间与时间”的讲座中，闵可夫斯基又利用另一种方式来阐释这种四维时空。他将虚的时间坐标替换为实的时间坐标，并利用一个四维实矢量空间来表述时空的四个自变量(, , , )。这个空间中的点与时空中的事件一一对应。在这个时空中还有一个特别的光锥。空间中不在光锥上的点可以依据它们与光锥的关系划分为“类空”或“类时”。这与现今对时空的认知基本一致。不过那种将时间作为虚坐标的做法由于某些原因仍在狭义相对论以及量子场论有所应用。将时间作为实坐标的闵可夫斯基空间与将时间作为虚坐标的四维欧几里德空间之间的转换叫作威克转动。

在闵可夫斯基的论文中，下面定义的闵可夫斯基度规叫作“线元素”，涉及特定矢量正交性（他本人叫作“正规性”）的闵可夫斯基内积没有被命名，而闵可夫斯基范数平方则叫作“和”。

闵可夫斯基图是闵可夫斯基使用的一项重要的工具。他利用这一工具来定义概念并展示了洛伦兹变换的一些性质（比如固有时间和长度收缩），并提供了牛顿力学推广到相对论力学的几何解释。有关这些话题请参看相关条目。下面主要展示的主要是利用由时空流形上的时空间隔不变性得到的闵可夫斯基空间的数学结构（闵可夫斯基度规、由它推导出的量以及作为时空对称群的庞加莱群），不包括其具体应用以及时空间隔不变性的推导。这个数学结构提供了目前广义相对论以外所有相对论理论的背景。对于广义相对论，闵可夫斯基时空仍可作为局部平坦的弯曲时空的出发点。

闵可夫斯基本人对于他的这种重新阐释方法有着这样的评价：

我想要在从实验物理学土壤中勃发出的（理论）下埋置的时空观在那里拥有它自身的力量。它是激进的。自此，单是空间或是时间将隐没入阴影之中，只有它们的联合体才会维系着一个独立的现实。

更进一步的历史方面的信息，请参阅Galison（1979）, Corry（1997） and Walter（1999）。

下文中，时空将被赋以对应某个惯性系的坐标系。这样就可以得到一个的原点。这个原点在把时空构造为矢量空间的过程中很重要。尽管从物理意义来说这样的一个正则原点（时空的“中心”事件）并不需要存在。人们可以构造具有更简单结构的时空，比如仿射空间，但这会添加不必要的讨论，并且不能反映平坦空间目前是如何从数学上处理的。

总体而言，闵可夫斯基空间是一个四维实矢量空间。时空中每个点的切空间上具有非退化对称双线性形式，这里称作“闵可夫斯基内积”，度规符号差（英语：metric signature）为(+ − − −)或(− + + +)。每个事件的切空间是一个具有与时空相同维度的四维矢量空间。

切空间在实际应用中可能并不会涉及。闵可夫斯基空间的切空间的性质可以让人们拥有利用闵可夫斯基空间本体里的矢量标示切空间中矢量的规范方法。例子请参见Lee（2003, Proposition 3.8.）。标识的过程通常是利用数学方法完成的。它们可以在直角坐标系中表示为：

其中切空间的基矢定义为：

这里的和是任意的两个事件，后一种标示叫作平行移动。第一种标示是利用空间本体中的矢量来表示切空间中矢量的规范方法。切空间的基矢会出现一阶微分符号就是因为这种标示方式。这种标示方式得益于几何切矢量可以与一组平滑函数的方向导数一一对应。这使得流形中的切矢量的定义不必基于ℝ。这种定义切矢量方式并不是唯一的。通过普通的n元矢量也可以定义切矢量。

在直角坐标系（对应于惯性系），点p处的切矢量可以定义为4 × 1的列矢量v。它通过洛伦兹变换Λ依照 → Λ在惯性系间变换，与坐标的变换方式相同。具体来说，就是：

这种定义在标准同构下与上文给出的定义等价。

点处的切矢量有时还会以点处的“位移矢量”表示，与上面规范标示方法基本相通。上述基于数学背景介绍的矢量表示方法可以在Misner, Thorne & Wheeler（1970）找到它们物理的或是更为具体的几何背景。

闵可夫斯基空间的一组常用标准基底是四个互相正交的矢量的集合(₀, ₁, ₂, ₃)使得

这些条件可以更简要地写成如下形式：

其中μ与ν涵盖的数值有{0, 1, 2, 3}，矩阵η称为闵可夫斯基度规，数值为

相对于一组标准基底，一矢量${\displaystyle V}$ 的分量可以写作${\displaystyle (V^0,V^1,V^2,V^3)}$，并且我们使用爱因斯坦标记来写${\displaystyle V=V^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{e}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$。分量${\displaystyle V^0}$称作${\displaystyle V}$ 的“类时分量”(timelike component)，而其他三个分量则称作“类空分量”(spatial components)。

以分量来写，两个矢量${\displaystyle V}$与${\displaystyle W}$间的内积可写成

而一矢量${\displaystyle V}$的范数(norm)平方值为

四维矢量依据它们（闵可夫斯基）内积的正负号来区分。四维矢量${\displaystyle U}$、${\displaystyle V}$与${\displaystyle W}$可分类如下：

这样的术语源自于相对论中对于闵可夫斯基空间的使用。闵可夫斯基空间中一事件所有零矢量的集合构成了该事件的光锥(light cone)。注意到这些标记的使用与参考系无关。

矢量场被称作是类时、类空或零，是看场定义所在的各点，其所对应的矢量是类时、类空或零。

关于零矢量一个有用的结果：“若两个零矢量${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$正交（即：零内积值${\displaystyle A\cdot <!--\; \cdot \; -->B=A^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{B}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=0}$），则它们必定是呈比例关系${\displaystyle A=kB}$（${\displaystyle k}$为常数）。”

一旦时间方向选定了，类时矢量与零矢量可以再分为各种类别。以类时矢量(timelike vector)来说，我们有

以零矢量(null vector)来说，可分为三种类别：

加上类空矢量，全部共有六种类别。

闵可夫斯基空间中的正交归一基底(orthonormal basis)必然包含一个类时与三个类空的单位矢量。若希望以非正交归一基底来做运算，则可有其他的矢量组合。例如：可以轻松建构一种（非正交归一）基底，整个是由零矢量所组成，称之为“零基底”(null basis)。

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