索菲·热尔曼质数

若质数${\displaystyle p}$为索菲·热尔曼质数，则${\displaystyle 2p+1}$亦为质数。与索菲·热尔曼质数p相联系之质数${\displaystyle 2p+1}$则称之为安全素数。举例来说，29为一索菲·热尔曼质数，2×29+1=59则为其对应的安全质数。索菲·热尔曼证明了费马最后定理对于这类质数为真。且若${\displaystyle x,y,z}$均为整数，在${\displaystyle x^p+y^p=z^p}$这式子内，必有一项能被${\displaystyle 2p+1}$整除。

是否存在无限个索菲热尔曼质数仍属猜想。

从1到10000共有190个索菲热尔曼质数（OEIS中的数列A005384）：

PrimeGrid计划（英语：PrimeGrid）于2016年3月发现了截至目前为止最大的索菲·热尔曼质数，2618163402417×21290000 − 1，此数共有388342位。

索菲热尔曼质数永不会以7为个位数。证明：

若${\displaystyle p>3}$，${\displaystyle p\equiv <!--\; \equiv \; -->3(\mathrm{mod}4)}$，且p为索菲热尔曼质数，2p+1是梅森数${\displaystyle M_p}$的因数。

1922年，哈代和李特尔伍德，猜测了以下估计索菲热尔曼质数频率的公式：

数列{p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...}的索非热尔曼质数称为第一类坎宁安链。除了首尾之外，这个数列中的项均同时为索非热尔曼质数和安全质数。