索菲·热尔曼质数

✍ dations ◷ 2025-04-25 11:52:28 #素数

若质数 $p {\displaystyle p}$ $p$ 为索菲·热尔曼质数，则 $2p+1$ $2p+1$ 亦为质数。与索菲·热尔曼质数p相联系之质数 $2p+1$ $2p+1$ 则称之为安全素数。举例来说，29为一索菲·热尔曼质数，2×29+1=59则为其对应的安全质数。索菲·热尔曼证明了费马最后定理对于这类质数为真。且若 $x, y, z {\displaystyle x,y,z}$ $x,y,z$ 均为整数，在 $x^{p}+y^{p}=z^{p}$ $x^{p}+y^{p}=z^{p}$ 这式子内，必有一项能被 $2p+1$ $2p+1$ 整除。

是否存在无限个索菲热尔曼质数仍属猜想。

从1到10000共有190个索菲热尔曼质数（OEIS中的数列A005384）：

PrimeGrid计划（英语：PrimeGrid）于2016年3月发现了截至目前为止最大的索菲·热尔曼质数，2618163402417×21290000 − 1，此数共有388342位。

索菲热尔曼质数永不会以7为个位数。证明：

若 $p>3$ $p>3$ ， $p\equiv 3{\pmod {4}}$ $p\equiv 3{\pmod {4}}$ ，且p为索菲热尔曼质数，2p+1是梅森数 $M_{p}$ $M_{p}$ 的因数。

1922年，哈代和李特尔伍德，猜测了以下估计索菲热尔曼质数频率的公式：

数列{p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...}的索非热尔曼质数称为第一类坎宁安链。除了首尾之外，这个数列中的项均同时为索非热尔曼质数和安全质数。

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