等于

在数学的领域中，若两个数学对象在各个方面都相同，则称他们是相等的。这就定义了一个二元谓词等于，写作“ = {displaystyle =} ”； x = y {displaystyle x=y} 当且仅当 x {displaystyle x} 和 y {displaystyle y} 相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式，例如 6 − 2 = 4 {displaystyle 6-2=4} ，即 6 − 2 {displaystyle 6-2} 与 4 {displaystyle 4} 是相等的。注意，有些时候“ A = B {displaystyle A=B} ”并不表示等式。例如， T ( n ) = O ( n 2 ) {displaystyle T(n)=O(n^{2})} 表示在数量级 n 2 {displaystyle n^{2}} 上渐进。因为这里的符号“ = {displaystyle =} ”不满足当且仅当的定义，所以它不等于等于符号；实际上， O ( n 2 ) = T ( n ) {displaystyle O(n^{2})=T(n)} 是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。集合 A {displaystyle A} 上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。 实际上，这是 A {displaystyle A} 上唯一满足所有这些性质的关系。 去掉对反对称性的要求，就是等价关系。 相应的，给定任意等价关系 R {displaystyle R} ，可以构造商集 A / R {displaystyle A/R} ，并且这个等价关系将‘下降为’ A / R {displaystyle A/R} 上的等于。在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程。谓词逻辑含有标准的关于相等的公理来形式化莱布尼茨律。莱布尼茨律是由哲学家莱布尼茨在17世纪提出来的。 莱布尼茨的想法是，两样物体是同一的，当且仅当它们有完全相同的性质。 形式化这一说法，可以写成然而，在一阶逻辑中，不能对谓词进行量化。因此，需要使用下述公理：这条公理对任意单变量的谓词 P {displaystyle P} 都有效，但只定义了莱布尼茨律的一个方向：若 x {displaystyle x} 和 y {displaystyle y} 相等，则它们具有相同的性质。 可以通过简单的假设来定义莱布尼茨律的另一个方向：则若 x {displaystyle x} 和 y {displaystyle y} 具有相同的性质，则特定的它们关于谓词 P {displaystyle P} 是相同的。这里谓词 P {displaystyle P} 为： P ( z ) {displaystyle P(z)} 当且仅当 x = z {displaystyle x=z} 。 由于 P ( x ) {displaystyle P(x)} 成立， P ( y ) {displaystyle P(y)} 必定也成立（相同的性质），所以 x = y {displaystyle x=y} （' ' P {displaystyle P} 的变量为 y {displaystyle y} ）.对任意量 a {displaystyle a} 和 b {displaystyle b} 和任意表达式 F ( x ) {displaystyle F(x)} ，若 a = b {displaystyle a=b} ，则 F ( a ) = F ( b ) {displaystyle F(a)=F(b)} （设等式两边都有意义）。 在一阶逻辑中，不能量化像 F {displaystyle F} 这样的表达式（它可能是个函数谓词）。 一些例子：对任意量 a {displaystyle a} ， a = a {displaystyle a=a} 。这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。例子：如果 a = b {displaystyle a=b} ，那么 b = a {displaystyle b=a}例子：如果 a = b {displaystyle a=b} ， b = c {displaystyle b=c} ，那么 a = c {displaystyle a=c}实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差能够叠加成非常大）。然而，在绝大多数情况下，等于具有传递性。尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。“等于”符号或 “ = {displaystyle =} ”被用来表示一些算术运算的结果，是由Robert Recorde在1557年发明的。由于觉得书写文字过于麻烦，Recorde在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。约等于的符号是 ≈ {displaystyle approx } 或≒，不等于的符号是 ≠ {displaystyle neq } 。