阿廷环

✍ dations ◷ 2025-04-02 21:27:19 #交换代数,抽象代数,环论

阿廷环是抽象代数中一类满足降链条件的环，以其开创者埃米尔·阿廷命名。

一个环 $A {\displaystyle A}$ $A$ 称作阿廷环，当且仅当对每个由 $A {\displaystyle A}$ $A$ 的理想构成的降链 ${\mathfrak {a}}_{1}\supset {\mathfrak {a}}_{2}\supset \ldots ,\supset {\mathfrak {a}}_{n}\supset \ldots$ ${\mathfrak {a}}_{1}\supset {\mathfrak {a}}_{2}\supset \ldots ,\supset {\mathfrak {a}}_{n}\supset \ldots$ ，必存在 $N\subset \mathbb {N}$ $N\subset {\mathbb {N}}$ ，使得对所有的 $n,m\geq N$ $n,m\geq N$ 都有 ${\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{m}$ ${\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{m}$ （换言之，此降链将会固定）。

将上述定义中的理想代换为左理想或右理想，可以类似地定义左阿廷环与右阿廷环，A是左（右）阿廷环当且仅当A在自己的左（右）乘法下形成一个左（右）阿廷模；对于交换环则无须分别左右。

若一个环 $A {\displaystyle A}$ $A$ 是交换阿廷环，则满足下列性质：

就代数几何的观点，阿廷环的谱在拓朴上只是有限多个点，但其结构层可能带有幂零的元素，这就使得局部阿廷环成为描述无穷小变化量的代数语言。

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