阿廷环

阿廷环是抽象代数中一类满足降链条件的环，以其开创者埃米尔·阿廷命名。

一个环${\displaystyle A}$称作阿廷环，当且仅当对每个由${\displaystyle A}$的理想构成的降链${\displaystyle {\mathfrak{a}}_1\supset <!--\; \supset \; -->{\mathfrak{a}}_2\supset <!--\; \supset \; -->\dots <!--\; \dots \; -->,\supset <!--\; \supset \; -->{\mathfrak{a}}_n\supset <!--\; \supset \; -->\dots <!--\; \dots \; -->}$，必存在${\displaystyle N\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{N}}$，使得对所有的${\displaystyle n,m\ge <!--\; \ge \; -->N}$都有${\displaystyle {\mathfrak{a}}_n={\mathfrak{a}}_m}$（换言之，此降链将会固定）。

将上述定义中的理想代换为左理想或右理想，可以类似地定义左阿廷环与右阿廷环，A是左（右）阿廷环当且仅当A在自己的左（右）乘法下形成一个左（右）阿廷模；对于交换环则无须分别左右。

若一个环${\displaystyle A}$是交换阿廷环，则满足下列性质：

就代数几何的观点，阿廷环的谱在拓朴上只是有限多个点，但其结构层可能带有幂零的元素，这就使得局部阿廷环成为描述无穷小变化量的代数语言。