巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，是度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡·巴拿赫命名的，他在1922年提出了这个定理。
设(, )为非空的完备度量空间。设 : → 为上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数 < 1，使得对于所有内的和，都有：
那么映射在内有且只有一个不动点*（这就是说，* = *）。更进一步，这个不动点可以用以下的方法来求出：从内的任意一个元素0开始，定义一个迭代序列 = -1，其中 = 1，2，3，……。那么，这个序列收敛，极限为*。以下的不等式描述了收敛的速率：
等价地：
且
满足以上不等式的最小的有时称为利普希茨常数。
注意对于所有不同的和都有d(, ) < d(, )的要求，一般来说是不足以保证不动点的存在的，例如映射 : [1,∞) → [1,∞)，() = + 1/，就没有不动点。但是，如果空间是紧的，则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。
当实际应用这个定理时，最艰难的部分通常是如何恰当地定义，使把元素从映射到，即总是的一个元素。
选择任何 n都有一个唯一的不动点。设为一个实数，0 < q < 1。那么存在上的一个完备度量，使得是压缩映射，且是压缩常数。
一个有趣的事实是，若把某国的地图缩小后印在该国领土内部，那么在地图上有且仅有这样一个点，它在地图中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。证明如下：
关于巴拿赫不动点定理的推广，请参见无穷维空间中的不动点定理。
