列维-奇维塔符号

✍ dations ◷ 2025-05-19 14:53:09 #置换,张量,数学符号

利威尔-奇维塔符号(Levi-Civita symbol),特别在线性代数,张量分析和微分几何等数学范畴中很常见到。对于正整数 ,它以1, 2, ..., 所形成排列的奇偶性来定义。它以意大利数学家和物理学家图利奥·列维-齐维塔命名。其他名称包括排列符号,反对称符号或交替符号。这些名称与它排列和反对称的性质有关。

列维-奇维塔符号的标准记号是希腊小写字母 ε 或 ϵ ,较不常见的也有以拉丁文小写 记号。下标符能与张量分析兼容的方式来显示排列:

其中每个下标指标 1, 2, ..., 取值介乎 1 到 。在 12... 中,共有 个指标排列,可以排成为一个 维阵列。

当任何两个指标相等,则定义符号值等于 0 :

当全部指标都不相等时,我们定义:

其中 称为“排列的奇偶性” (parity of permutation),是要将 1, 2, ..., 变换成自然次序 1, 2, ..., ,所需的对换次数。而因子 (−1) 被称为“排列正负号” (signum of permutation)。这里, 12... 的值必须有定义,否则其他特定排列的符号值将无法确定。大多数作者选择 +1 作为自然次序的值:

在本文中,也将使用这个定义。

从定义可知,当任何两个指标互换,则须加上负号:

这称为“完全反对称性”。

维列维-奇维塔符号”一词是指符号上的指标数 ,和所讨论的向量空间维度相符,其中可指欧几里得空间或非欧几里得空间,例如 R3 的 = 3 或闵可夫斯基空间的 = 4 。

列维-奇维塔符号的值,与参考坐标系无关。此外,这里使用“符号”一词。强调了它并不是一个张量;然而,它可以被理解为张量的密度。

列维-奇维塔符号可用来表示正方矩阵的行列式,及三维欧几里德空间中的两个向量的叉积。

列维-奇维塔符号最常用于三维和四维,并在一定程度上用于二维,因此在定义一般情况之前,先给出这些符号值。

在二维中,列维-奇维塔符号定义如下:

这些值可以排列成 2×2 反对称矩阵:

相对于其他维度,二维的列维-奇维塔符号并不常见,虽然在某些专门的主题,如超对称和扭量理论中,谈及2-旋量时会用到。

三维以上的列维-奇维塔符号更常用。在三维中,列维-奇维塔符号定义如下:

也就是说,如果 (, , ) 是 (1, 2, 3) 的偶排列,则符号值为 +1 。如果是奇排列,则符号值为 −1 。如果任何两个索引重复,则符号值为 0 。

仅在三维中, (1, 2, 3) 的循环排列都是偶排列,反循环排列都是奇排列。这意味着在三维中,仅观察 (, , ) 是 (1, 2, 3) 的循环排列,还是反循环排列,就足以分辨其奇偶性。

类似于二维矩阵,三维列维-奇维塔符号的值可以排成 3×3×3 阵列:

其中 是深度 (蓝色: = 1; 红色: = 2; 绿色: = 3) , 是横行, 是直列。

以下是一些例子:

在四维中,列维-奇维塔符号定义如下:

这些值可以排成 4×4×4×4 阵列,然而四维以上较难描绘出示意图。

以下是一些例子:

更一般地推广到 维中,则列维-奇维塔符号的定义为:

又可使用求积符号 ∏ 表达为:

其中的 sgn() 是符号函数,根据 的正负给出 +1 、 0 或 −1。该公式对对于任何 及任何指标排列都有效(当 = 0 或 1 时,定义为空积 1)。

然而,计算以上公式的时间复杂度为 O(2) ,而以不交循环排列的性质计算,则只需 O( log()) 。

两个列维-奇维塔符号的积,可以用一个以广义克罗内克函数表示的行列式求得:

在线性代数中, 3×3 的方阵 = () :

其行列式可以写为:

类似地, × 矩阵 = () 的行列式可以写为:

对于向量 a 与 b ,它们的叉积:

对于向量 a 、 b 与 c ,它们的三重积:


由列维-奇维塔符号给出(共变等级为n)张量在正交基础中的组成部分,有时称为“排列张量”。

根据普通的张量变换规则,列维-奇维塔符号在纯旋转下不变,与正交变换相关的所有坐标系统(在定义上)相同。然而,列维-奇维塔符号是一种赝张量,因为在雅可比行列式−1的正交变换之下,例如,一个奇数维度的镜射,如果它是一个张量,它“应该”有一个负号。由于它根本没有改变,所以列维-奇维塔符号根据定义,是一个赝张量。

由于列维-奇维塔符号是赝张量,因此取叉积的结果是赝张量,而不是向量。

在一般坐标变换下,排列张量的分量乘以变换矩阵的雅可比。这表示在与定义张量的坐标系不同的坐标系中,其组成部分与列维-奇维塔符号表示的那些,不同之处在于一整体因子。如果坐标是正交的,则根据坐标的方向是否相同,因子将为±1。

在无指标的张量符号中,列维-奇维塔符号被霍奇对偶的概念所取代。

在使用张量的指标符号来操作分量的上下文中,列维-奇维塔符号可以将其指标写为下标或上标,而不改变意义,这也许是方便的如下写成:

在这些例子中,上标应该被视为与下标相同。

使用爱因斯坦标记法可消除求和符号,其中两个或多个项之间重复的指标表示该指标的求和。例如,

以下的例子使用爱因斯坦标记法。

在二维上,当所有 i {\displaystyle i} j {\displaystyle j} m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} 各取值1和2时,

ε i j ε m n = δ i m δ j n δ i n δ j m {\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{mn}={\delta _{i}}^{m}{\delta _{j}}^{n}-{\delta _{i}}^{n}{\delta _{j}}^{m}}

 

 

 

 

(1)

ε i j ε i n = δ j n {\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}={\delta _{j}}^{n}}

 

 

 

 

(2)

ε i j ε i j = 2. {\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{ij}=2.}

 

 

 

 

(3)

在三维中,当所有 i {\displaystyle i} j {\displaystyle j} k {\displaystyle k} m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} 各取值1,2和3时:

ε i j k ε i m n = δ j m δ k n δ j n δ k m {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}=\delta _{j}{}^{m}\delta _{k}{}^{n}-\delta _{j}{}^{n}\delta _{k}{}^{m}}

 

 

 

 

(4)

ε j m n ε i m n = 2 δ j i {\displaystyle \varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=2{\delta _{j}}^{i}}

 

 

 

 

(5)

ε i j k ε i j k = 6. {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6.}

 

 

 

 

(6)

列维-奇维塔符号与克罗内克函数有关。 在三维中,关系由以下等式给出(垂直线表示行列式):

这个结果的一个特例是(4):

有时候称为“contracted epsilon identity”。

在爱因斯坦标记法中, i {\displaystyle i} 指标的重复表示 i {\displaystyle i} 的总和。然后前一个被表示为 ε i j k ε i m n = δ j m δ k n δ j n δ k m {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}\delta _{jn}\delta _{km}}

n维中,当所有 i 1 , , i n , j 1 , , j n {\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n},j_{1},\ldots ,j_{n}} take values 1 , 2 , , n {\displaystyle 1,2,\ldots ,n}

ε i 1 i n ε j 1 j n = n ! δ j n = δ i 1 i n j 1 j n {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=n!\delta _{}^{j_{n}}=\delta _{i_{1}\dots i_{n}}^{j_{1}\dots j_{n}}}

 

 

 

 

(7)

ε i 1 i k   i k + 1 i n ε i 1 i k   j k + 1 j n = k ! ( n k ) !   δ j n = k !   δ i k + 1 i n j k + 1 j n {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n}}=k!(n-k)!~\delta _{}^{j_{n}}=k!~\delta _{i_{k+1}\dots i_{n}}^{j_{k+1}\dots j_{n}}}

 

 

 

 

(8)

ε i 1 i n ε i 1 i n = n ! {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}=n!}

 

 

 

 

(9)

惊叹号( ! {\displaystyle !} )代表阶乘,而 δ β α {\displaystyle \delta _{\beta \ldots }^{\alpha \ldots }} 是广义克罗内克函数,对于任意n有属性:

从以下事实可得出:

一般来说,对于n维,两个列维-奇维塔符号的乘积可以写成:

相关

  • 忧郁型抑郁障碍忧郁型抑郁障碍,表现为患者对绝大多数或者所有活动失去兴趣,对于愉快的刺激失去反应,抑郁心境且比丧恸或失去亲人更严重,在早上情况更差,早醒,精神运动性阻滞,体重迅速降低(注意与神
  • 电吉他电吉他是一种广泛运用于多种音乐风格中的电声拨弦乐器。电吉他通过电磁学原理发声,它通过拾音器将琴弦上的机械振动转化为电信号。这些电信号经过放大与处理后,通过音箱转换成
  • 牙套牙齿矫正器,又称齿列矫正器或俗称的牙套、牙箍,是齿列矫正所使用的一种装置,用来矫正牙齿至适当的咬合位置。矫正器通常被用来改善的咬合不良,包括戽斗、龅牙、前后牙错咬、开咬
  • 哥伦布日哥伦布日(英语:Columbus Day)是美洲部分国家的法定假日,用以纪念意大利探险家、殖民者、航海家克里斯托弗·哥伦布于1492年发现美洲新大陆,开拓新天新地及扩展西方文明。10月12日
  • 比吉斯比吉斯(Bee Gees,或称蜜蜂合唱团)是一队来自英国的三人兄弟乐队组合,成员包括大哥巴里·吉布(Barry Gibb)、及双胞胎罗宾·吉布(Robin Gibb)和莫里斯·吉布(Maurice Gibb),他们跨越多个
  • 约克郡-亨伯约克郡-亨伯(英语:Yorkshire and the Humber),英国英格兰下辖的9个次级行政区之一,涵盖过去的约克郡以及林肯郡北部。约克郡-亨伯旧名约克郡及亨伯赛德(Yorkshire and Humberside),
  • 程志程志(Cheng Zhi)是美国电视连续剧《24》的一个角色。在剧中,他是中华人民共和国驻洛杉矶总领事馆保安主管以及一名特工。程志于第四季担任中华人民共和国驻洛杉矶领事馆保安主
  • 周家嘴路周家嘴路是中国上海市跨虹口区东部和杨浦区的一条干道,东西走向。
  • 武昌战斗武昌战斗发生于1926年9月2日-10月10日,地点则是在中国鄂武汉一带,是国民革命军北伐战争的战斗之一。武昌战斗的交战双方,一方为国民革命军,另一方为吴佩孚部队。10月初,武昌守军曾
  • 江西阳明山国家森林公园江西阳明山国家森林公园是位于中华人民共和国江西省赣州市崇义县的国家森林公园,位于湘、粤、赣三省交界处。古称观音山,后为了纪念王阳明在崇义县平叛立县,更名为阳岭,2017年1