交集

数学上，两个集合${\displaystyle A}$又属于的元素，而没有其他元素的集合。

${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的交集写作“${\displaystyle A\cap <!--\; \cap \; -->B}$”。形式上：

例如：集合${\displaystyle \{1,2,3\}}$和${\displaystyle \{2,3,4\}}$的交集为${\displaystyle \{2,3\}}$。数字${\displaystyle 9}$不属于素数集合${\displaystyle \{2,3,5,7,11,\dots <!--\; \dots \; -->\}}$和奇数集合${\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,\dots <!--\; \dots \; -->\}}$的交集。

若两个集合${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的交集为空，就是说它们彼此没有公共元素，则他们不相交，写作：${\displaystyle A\cap <!--\; \cap \; -->B=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}}$。例如集合${\displaystyle \{1,2\}}$和${\displaystyle \{3,4\}}$不相交，写作${\displaystyle \{1,2\}\cap <!--\; \cap \; -->\{3,4\}=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}}$。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合${\displaystyle A,B}$，${\displaystyle C}$和${\displaystyle D}$的交集为${\displaystyle A\cap <!--\; \cap \; -->B\cap <!--\; \cap \; -->C\cap <!--\; \cap \; -->D=A\cap <!--\; \cap \; -->(B\cap <!--\; \cap \; -->(C\cap <!--\; \cap \; -->D))}$。交集运算满足结合律。即：

以上定义可推广到任意非空集合的集合的交集。若 M 是一个非空集合，其元素本身也是集合，则${\displaystyle x}$属于 M 的交集，当且仅当对任意 M 的元素${\displaystyle A,x}$属于${\displaystyle A}$。符号表示为：

这一概念也蕴涵了前述的定义，例如，${\displaystyle A\cap <!--\; \cap \; -->B\cap <!--\; \cap \; -->C}$是集合${\displaystyle A,B,C}$的交集。（若 M 为空集，有时候谈论它的交集也是有意义的，请见空交集。）

这一概念的表示符号有多种。集合论者有时用${\displaystyle \bigcap <!--\; \bigcap \; -->M}$，有时用${\displaystyle \underset{A\in <!--\; \in \; -->M}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}A}$。后一种写法可以一般化为${\displaystyle \underset{i\in <!--\; \in \; -->I}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}{A}_i}$，表示集合${\displaystyle \{A_i:i\in <!--\; \in \; -->I\}}$的交集。这里${\displaystyle I}$非空，而对于每个${\displaystyle I}$里的${\displaystyle i,A_i}$是一个集合。

当索引集${\displaystyle I}$为自然数集合时，这种符号表示与无限序列相类似：

为了排版方便，上述符号也可以写成"${\displaystyle A_1\cap <!--\; \cap \; -->A_2\cap <!--\; \cap \; -->A_3\cap <!--\; \cap \; -->\dots <!--\; \dots \; -->}$"，尽管严格说来，像${\displaystyle A_1\cap <!--\; \cap \; -->(A_2\cap <!--\; \cap \; -->(A_3\cap <!--\; \cap \; -->\dots <!--\; \dots \; -->}$这样的写法是无意义的。（这个例子是可数个集合的交集，相当常用，可以参看${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$-代数条目中的例子。）

最后，注意当符号${\displaystyle \cap <!--\; \cap \; -->}$写在其他符号之前，而不是之间的时候，需要写得大一号。（在HTML中，可以使用字体⋂，或者尝试∩。）