交集

✍ dations ◷ 2025-10-29 11:30:40 #抽象代数,集合论基本概念,二元运算

数学上,两个集合 A {\displaystyle A} 又属于的元素,而没有其他元素的集合。

A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} 的交集写作“ A B {\displaystyle A\cap B} ”。形式上:

例如:集合 { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} { 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \{2,3,4\}} 的交集为 { 2 , 3 } {\displaystyle \{2,3\}} 。数字 9 {\displaystyle 9} 不属于素数集合 { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , } {\displaystyle \{2,3,5,7,11,\ldots \}} 和奇数集合 { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , } {\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,\ldots \}} 的交集。

若两个集合 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} 的交集为空,就是说它们彼此没有公共元素,则他们不相交,写作: A B = {\displaystyle A\cap B=\varnothing } 。例如集合 { 1 , 2 } {\displaystyle \{1,2\}} { 3 , 4 } {\displaystyle \{3,4\}} 不相交,写作 { 1 , 2 } { 3 , 4 } = {\displaystyle \{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing }

更一般的,交集运算可以对多个集合同时进行。例如,集合 A , B {\displaystyle A,B} C {\displaystyle C} D {\displaystyle D} 的交集为 A B C D = A ( B ( C D ) ) {\displaystyle A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))} 。交集运算满足结合律。即:

以上定义可推广到任意非空集合的集合的交集。若 M 是一个非空集合,其元素本身也是集合,则 x {\displaystyle x} 属于 M 的交集,当且仅当对任意 M 的元素 A , x {\displaystyle A,x} 属于 A {\displaystyle A} 。符号表示为:

这一概念也蕴涵了前述的定义,例如, A B C {\displaystyle A\cap B\cap C} 是集合 A , B , C {\displaystyle {A,B,C}} 的交集。(若 M 为空集,有时候谈论它的交集也是有意义的,请见空交集。)

这一概念的表示符号有多种。集合论者有时用 M {\displaystyle \bigcap M} ,有时用 A M A {\displaystyle \bigcap _{A\in M}A} 。后一种写法可以一般化为 i I A i {\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}} ,表示集合 { A i : i I } {\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}} 的交集。这里 I {\displaystyle I} 非空,而对于每个 I {\displaystyle I} 里的 i , A i {\displaystyle i,A_{i}} 是一个集合。

当索引集 I {\displaystyle I} 为自然数集合时,这种符号表示与无限序列相类似:

为了排版方便,上述符号也可以写成" A 1 A 2 A 3 {\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots } ",尽管严格说来,像 A 1 ( A 2 ( A 3 {\displaystyle A_{1}\cap (A_{2}\cap (A_{3}\cap \ldots } 这样的写法是无意义的。(这个例子是可数个集合的交集,相当常用,可以参看 σ {\displaystyle \sigma } -代数条目中的例子。)

最后,注意当符号 {\displaystyle \cap } 写在其他符号之前,而不是之间的时候,需要写得大一号。(在HTML中,可以使用字体,或者尝试。)

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