特征值和特征向量

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在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的方阵${\displaystyle A}$，得到

因此

根据线性方程组理论，为了使这个方程有非零解，矩阵${\displaystyle \mathbf{A}-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathbf{I}}$是任意非零常量。因此，矩阵${\displaystyle \mathbf{A}}$（如果将绳子假设为一个连续媒介），就是它的驻波—也就是那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉他的拨动声的振动。驻波对应于弦的特定振动，它们使得弦的形状随着时间变化而伸缩一个因子（特征值）。和弦相关的该向量的每个分量乘上了一个依赖于时间的因子。驻波的振幅（特征值）在考虑到阻尼的情况下逐渐减弱。因此可以将每个特征向量对应于一个寿命，并将特征向量的概念和共振的概念联系起来。

从数学上看，如果向量v与变换${\displaystyle \mathcal{T}}$是相应的特征值。其中${\displaystyle \mathcal{T}(\mathbf{v})}$ 维。由此，${\displaystyle \mathbf{v}}$和是可微函数，而和是常数）

考虑对于时间${\displaystyle t}$是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数，如果${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=0}$的特征值为的特征函数。若是一个负数，我们称的演变为一个指数衰减；若它是正数，则称指数增长。的值可以是一个任意复数。因此的谱是整个复平面。在这个例子中，算子作用的空间是单变量可微函数的空间。该空间有无穷维（因为不是每一个可微函数都可以用有限的基函数的线性组合来表达的）。但是，每个特征值所对应的特征空间是一维的。它就是所有形为${\displaystyle N=N_0\exp <!--\; \; -->(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}t)}$是任意常数，也就在的初始数量。

谱定理在有限维的情况，将所有可对角化的矩阵作了分类：它显示一个矩阵是可对角化的，当且仅当它是一个正规矩阵。注意这包括自共轭（厄尔米特）的情况。这很有用，因为对角化矩阵T的函数f(T)（譬如波莱尔函数f）的概念是清楚的。在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了。例如，若f是解析的，则它的形式幂级数，若用T取代x，可以看作在矩阵的巴拿赫空间中绝对收敛。谱定理也允许方便地定义正算子的唯一的平方根。

谱定理可以推广到希尔伯特空间上的有界正规算子，或者无界自共轭算子的情况。

假设我们想要计算给定矩阵的特征值。若矩阵很小，我们可以用特征多项式进行符号演算。但是，对于大型矩阵这通常是不可行的，在那种情况我们必须采用数值方法。

描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式：就如之前的例子一样，说是的特征值等价于说线性系统（ – ） = 0（其中是单位矩阵）有非零解（一个特征向量），因此等价于说行列式：

函数：${\displaystyle p_A(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=det(A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}I)}$的多项式，称为的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。求一个矩阵的特征值可以通过求解方程${\displaystyle p_A(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=0}$是一个×矩阵，则${\displaystyle p_A}$次多项式，因而最多有个特征值。反过来，如果的系数是在一个代数闭域里面（比如说复数域），那么代数基本定理说明这个方程刚好有个根（如果重根也计算在内的话）。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此当n为奇数的时候，每个n维实系数矩阵至少有一个实数特征值。当矩阵系数是实数的时候，非实数的特征值会成共轭对出现。

一旦找到特征值λ，相应的特征向量就可以通过求解如下方程得到：

实系数的矩阵不一定有实数特征值。比如对于以下的矩阵（表示二维平面上的顺时针90°的一个旋转变换)：

其特征多项式是${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2+1}$和-，而没有实数特征值。相应的特征向量也是非实数的。

在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算。计算该多项式本身相当费资源，而根的精确表达式对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔-鲁菲尼定理显示五次或更高次的多项式的根无法用${\displaystyle n}$的一个特征值λ的代数重数是λ作为的特征多项式的根的次数；换句话说，若r是该多项式的一个根，它是一次多项式因子（ - r）在特征多项式中在因式分解后中出现的次数。如果将代数重次计算在内的话，一个×矩阵有个特征值，因为其特征多项式次数为。

一个代数重次1的特征值为“单特征值”。

在关于矩阵理论的条目中，可能会遇到如下的表示方法：

表示4的代数重次为二，3的是三，2的是二，而1的是1。这样写是因为代数重次对于矩阵理论中的很多数学证明很重要而被大量使用。

和代数重数相对的是特征值的几何重数：特征值相对应的特征空间（也就是λI − 的零空间）的维数。代数重次也可以视为一种维数：它是相应广义特征空间的维数，也就是当自然数k足够大的时候矩阵（λI − ）的零空间。也就是说，它是所有“广义特征向量”组成的空间，其中一个广义特征向量是任何一个如果λI − 作用连续作用足够多次就“最终”会变0的向量。任何特征向量都是一个广义特征向量，以此任一个特征空间都被包含于相应的广义特征空间。这给了一个几何重次总是小于或等于代数重次的简单证明。

例如：

它只有一个特征值，也就是λ = 1。其特征多项式是${\displaystyle (\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}-<!--\; -\; -->1{)}^2}$轴的数轴，由向量${\displaystyle }$和-1有相同的特征值，这对任何矩阵和任何可逆矩阵都成立。谱在转置之下也不变：矩阵和T有相同的特征值。

因为有限维空间上的线性变换是双射当且仅当它是单射，一个矩阵可逆当且仅当所有特征值都不是0。

若尔当分解的一些更多的结果如下：

正规矩阵的一些子类的谱的位置是：

假设是一个×矩阵，其中 ≤ ，而是一个×矩阵。则有和相同的特征值加上 − 个等于0的特征值。

每个矩阵可以被赋予一个算子范数。算子范数是其特征值的模的上确界，因而也是它的谱半径。该范数直接和计算最大模的特征值的幂法直接相关。当一个矩阵是正规的，其算子范数是其特征值的最大模，并且独立于其定义域的范数。

一个共轭特征向量或者说共特征向量是一个在变换下成为其共轭乘以一个标量的向量，其中那个标量称为该线性变换的共轭特征值或者说共特征值。共轭特征变量和共轭特征值代表了和常规特征向量和特征值相同的信息和含义，但是在交替坐标系统被使用的时候出现。对应的方程是：

例如，在相干电磁散射理论中，线性变换代表散射物体施行的作用，而特征向量表示电磁波的极化状态。在光学中，坐标系统按照波的观点定义，称为前向散射对齐（FSA），从而导致了常规的特征值方程，而在雷达中，坐标系统按照雷达的观点定义，称为后向散射对齐（BSA），从而给出了共轭特征值方程。

一个广义特征值（第二种意义）有如下形式

其中和为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ可以通过求解如下方程得到

形如${\displaystyle A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}B}$可逆，则最初的问题可以写作如下形式

也即标准的特征值问题。但是，在很多情况下施行逆操作是不可取的，而广义特征值问题应该如同其原始表述来求解。

如果和是实系数的对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价表述中并不明显，因为矩阵${\displaystyle B^{-<!--\; -\; -->1}A}$，其系数属于一个环的情况，λ称为一个右特征值如果存在一个列向量使得=λ，或者称为一个左特征值如果存在非零行向量使得=λ。

若环是可交换的，左特征值和右特征值相等，并简称为特征值。否则，例如当环是四元数集合的时候，它们可能是不同的。

若向量空间是无穷维的，特征值的概念可以推广到谱的概念。谱是标量λ的集合，对于这些标量，${\displaystyle {\left(\mathcal{T}-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\right)}^{-<!--\; -\; -->1}}$是T的特征值，位于T的谱内。一般来讲，反过来并不成立。在希尔伯特空间或者巴拿赫空间上有一些算子完全没有特征向量。这可以从下面的例子中看到。在希尔伯特空间${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2(\mathbf{Z})}$）。在上述方程中，${\displaystyle H|{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_E⟩<!--\; ⟩\; -->}$。这样地方程通常采用迭代程序求解，在这个情况下称为自洽场方法。在量子化学中，经常会把Hartree-Fock方程通过非正交基集合来表达。这个特定地表达是一个广义特征值问题称为Roothaan方程。

在因素分析中，一个协方差矩阵的特征向量对应于因素，而特征值是因素负载。因素分析是一种统计学技术，用于社会科学和市场分析、产品管理、运筹规划和其他处理大量数据的应用科学。其目标是用称为因素的少量的不可观测随机变量来解释在一些可观测随机变量中的变化。可观测随机变量用因素的线性组合来建模，再加上“残差项。

在对于多自由度机械结构作振动分析时，常常会遇到特征值问题。经过仔细解析，求得的特征值会给出振动的自然频率，而特征向量则会给出振动模态的振动行为。由于特征向量的相互正交性质，允许对应的微分方程能够解耦合(decouple)，整个系统可以表示为特征向量的线性总和。有限元分析是一种非常优良的方法，时常用来解析复杂结构的特征值问题。

在图像处理中，脸部图像的处理可以看作分量为每个像素的灰度的向量。该向量空间的维数是像素的个数。一个标准化面部图形的一个大型数据集合的协方差矩阵的特征向量称为特征脸。它们对于将任何面部图像表达为它们的线性组合非常有用。特征脸提供了一种用于识别目的的数据压缩的方式。在这个应用中，一般只取那些最大特征值所对应的特征脸。

采用直角坐标系的三个坐标轴为参考轴，一个刚体的惯性张量${\displaystyle \mathcal{I}}$的特征值，或者（更多的是）图的拉普拉斯算子矩阵${\displaystyle I-<!--\; -\; -->T^{-<!--\; -\; -->1/2}A{T}^{-<!--\; -\; -->1/2}}$是对角阵表示每个顶点的度数，在${\displaystyle T^{-<!--\; -\; -->1/2}}$中，0用于取代${\displaystyle 0^{-<!--\; -\; -->1/2}}$。图的主特征向量用于测量其顶点的中心度。Google的PageRank算法就是一个例子。www图的修正邻接矩阵的主特征向量的分量给出了页面评分。