典型群

✍ dations ◷ 2025-07-15 07:08:38 #李群,有限群


无限单李群:An, Bn, Cn, Dn,
特殊单李群 G2(英语:G2 (mathematics)) F4E6 E7E8(英语:E8 (mathematics))

在数学中,典型群(classical group)指与欧几里得空间的对称密切相关的四族无穷多李群。术语“经典”的使用取决于语境,有一定的灵活性。这个用法可能源于赫尔曼·外尔,他的专著 Weyl (1939) 以“典型群”为题。在菲利克斯·克莱因爱尔兰根纲领的观点下,也许反映了它们和“经典”几何(classical geometry)的关系。

有时在紧群的限制下讨论典型群,这样容易处理它们的表示论和代数拓扑。但是这把一般线性群排除在外,当前都认为一般线性群是最典型的群。

和典型李群相对的是例外李群,具有一样的抽象性质,但不属于同一类。

典型李群共同的特点是它们都与某个特定的双线性或半双线性形式的等距同构群密切联系。这四类用邓肯图标记(下标 ≥ 1),可以描述为:

为了某些特定的目的,去掉行列式为 1 的条件考虑酉群和(不连通)正交群也是自然的。表中所列即为所谓连通紧实形式群;在复数域中有相应的类比,以及多种非紧形式,例如,和紧正交群一起可考虑不定正交群。这些群相应的李代数称为“典型李代数”。

在代数中,考虑更广泛的典型群,给出特别值得关注的矩阵群。当矩阵群的系数环为实数或复数域时,这些群就是上述的典型李群。

当系数环是有限域时,典型群是李型群。这些群在有限单群的分类中扮演着重要的角色。考虑他们的抽象群理论,许多线性群有一个“特殊”子群,常常由行列式为 1 的元素组成,大部分有一个伴随的“射影”群,它们是除掉群中心的商群。

“一般”一词在群的名称前面通常表示这个群可以用常数乘以某个形式,而不是保持不变。下标 经常表示群作用的模之维数。特别注意:这种记法和 Dynkin 图中的 (为秩)可能冲突。

一般线性群 () 是某个模的自同构群。有子群特殊线性群 () ,以及商群射影一般线性群 () = ()/(()) 和射影特殊线性群 () = ()/(())。当 2 或 =2 且域 的阶数不为 2 或 3 时,域 上的射影特殊线性群 () 为单群。

酉群 () 是保持某个模的半双线性形式的群。有子群特殊酉群 (),以及他们的商群射影酉群 () = ()/(()) 与射影特殊酉群 () = ()/(())。

辛群 2() 保持一个模的斜对称形式。它有一个商群射影辛群 2()。将模的斜对称形式乘以一个可逆纯量的所有自同构组成一般辛群 2() 。除了 =1 且域的阶数为 2 或 3 这两个例外,域 上射影辛群 2() 是单群。

正交群 () 保持一个模的非退化二次型。有子群特殊正交群 (),以及商群射影正交群 () 与射影特殊正交群。在特征为 2 时,行列式总是 1,故特殊正交群常定义为 Dickson 不变量为 1 的元素。

有一个没有名字的群,经常记为 Ω(),由所有 Spinor 模为 1 的正交群中元素组成。相应的子群和商群为 Ω(),Ω(),Ω()(对实数域上正定二次型,群 Ω 就是正交群,但一般要比正交群小)。Ω() 也有一个二重复盖群,称为 Spin 群 ()。一般正交群由在二次型上的作用为乘以一个可逆纯量的自同构组成。

相关

  • 旧金山缆车系统旧金山缆车系统(英语:San Francisco cable car system)是旧金山市内的缆索铁路交通系统,是历史最悠久的循环式缆索铁路交通系统,也是旧金山城市铁路系统的一部分。旧金山缆车系统
  • 磁重联磁重联是一种发生于高导电等离子体中的物理过程,过程中磁拓扑重新分布,同时磁能被转换为动能、热能与加速粒子(英语:Particle acceleration)。磁重联涉及的时间尺度介在磁场的慢
  • 安达拉帕区坐标:13°42′S 73°24′W / 13.700°S 73.400°W / -13.700; -73.400安达拉帕区(西班牙语:Distrito de Andarapa),是秘鲁的一个区,位于该国南部阿普里马克大区的安达韦拉斯省,始建
  • 三轮田胜利三轮田 胜利(みわた かつとし,1945年7月11日-1998年11月27日)出身自爱知县,前职棒选手,守备位置投手,球员时期曾效力于阪急勇士队(今欧力士野牛),现役引退后曾任阪急勇士、欧力士勇士
  • 同步电动机同步电动机是一种交流电动机,转子旋转速度与所提供交流电的频率相同。原理是由交流电在电动机的定子处产生旋转磁场,使电动机转子旋转。在同步电动机的转子有电磁铁或永久磁铁
  • 乔治·坎贝尔·斯科特乔治·坎贝尔·斯科特(英语:George Campbell Scott,1927年10月18日-1999年9月22日),是一位美国的舞台剧和电影演员,导演和制片人。他最出名的是舞台作品以及电影 《巴顿将军》、《
  • 都都逸都都逸(日语:都々逸)是江户末期,由初代都都逸坊扇歌(1804年-1852年)集大成的口语定型诗。遵循“七・七・七・五”的音律数。都都逸本来是和三味线一同演唱的俗曲,为音曲师招客或宴
  • 褚脩褚脩(510年代前-6世纪),吴郡钱唐人,南北朝南梁人,因有孝行而闻名。褚脩的父亲是精通《周易》的褚仲都,曾在天监年间担任五经博士;褚脩年轻时继承父业,同时通晓《孝经》、《论语》,擅长
  • 皮克斯短片精选1《皮克斯短片精选1》(英文:"Pixar Short Films Collection, Volume 1")是一部由博伟家庭娱乐(英语:Walt Disney Studios Home Entertainment)于2007年10月4日发布的家庭影视(英语:ho
  • 北海道放送北海道放送株式会社(日语:北海道放送株式会社/ほっかいどうほうそう  */?,英语:Hokkaido Broadcasting Co., Ltd.),通称北海道放送,简称HBC,是日本的一家以北海道为播出范围的广电