典型群

✍ dations ◷ 2025-08-26 16:15:13 #李群,有限群


无限单李群:An, Bn, Cn, Dn,
特殊单李群 G2(英语:G2 (mathematics)) F4E6 E7E8(英语:E8 (mathematics))

在数学中,典型群(classical group)指与欧几里得空间的对称密切相关的四族无穷多李群。术语“经典”的使用取决于语境,有一定的灵活性。这个用法可能源于赫尔曼·外尔,他的专著 Weyl (1939) 以“典型群”为题。在菲利克斯·克莱因爱尔兰根纲领的观点下,也许反映了它们和“经典”几何(classical geometry)的关系。

有时在紧群的限制下讨论典型群,这样容易处理它们的表示论和代数拓扑。但是这把一般线性群排除在外,当前都认为一般线性群是最典型的群。

和典型李群相对的是例外李群,具有一样的抽象性质,但不属于同一类。

典型李群共同的特点是它们都与某个特定的双线性或半双线性形式的等距同构群密切联系。这四类用邓肯图标记(下标 ≥ 1),可以描述为:

为了某些特定的目的,去掉行列式为 1 的条件考虑酉群和(不连通)正交群也是自然的。表中所列即为所谓连通紧实形式群;在复数域中有相应的类比,以及多种非紧形式,例如,和紧正交群一起可考虑不定正交群。这些群相应的李代数称为“典型李代数”。

在代数中,考虑更广泛的典型群,给出特别值得关注的矩阵群。当矩阵群的系数环为实数或复数域时,这些群就是上述的典型李群。

当系数环是有限域时,典型群是李型群。这些群在有限单群的分类中扮演着重要的角色。考虑他们的抽象群理论,许多线性群有一个“特殊”子群,常常由行列式为 1 的元素组成,大部分有一个伴随的“射影”群,它们是除掉群中心的商群。

“一般”一词在群的名称前面通常表示这个群可以用常数乘以某个形式,而不是保持不变。下标 经常表示群作用的模之维数。特别注意:这种记法和 Dynkin 图中的 (为秩)可能冲突。

一般线性群 () 是某个模的自同构群。有子群特殊线性群 () ,以及商群射影一般线性群 () = ()/(()) 和射影特殊线性群 () = ()/(())。当 2 或 =2 且域 的阶数不为 2 或 3 时,域 上的射影特殊线性群 () 为单群。

酉群 () 是保持某个模的半双线性形式的群。有子群特殊酉群 (),以及他们的商群射影酉群 () = ()/(()) 与射影特殊酉群 () = ()/(())。

辛群 2() 保持一个模的斜对称形式。它有一个商群射影辛群 2()。将模的斜对称形式乘以一个可逆纯量的所有自同构组成一般辛群 2() 。除了 =1 且域的阶数为 2 或 3 这两个例外,域 上射影辛群 2() 是单群。

正交群 () 保持一个模的非退化二次型。有子群特殊正交群 (),以及商群射影正交群 () 与射影特殊正交群。在特征为 2 时,行列式总是 1,故特殊正交群常定义为 Dickson 不变量为 1 的元素。

有一个没有名字的群,经常记为 Ω(),由所有 Spinor 模为 1 的正交群中元素组成。相应的子群和商群为 Ω(),Ω(),Ω()(对实数域上正定二次型,群 Ω 就是正交群,但一般要比正交群小)。Ω() 也有一个二重复盖群,称为 Spin 群 ()。一般正交群由在二次型上的作用为乘以一个可逆纯量的自同构组成。

相关

  • 优泌林胰岛素(英语:Insulin)是用胰岛素或胰岛素类似物制成的蛋白质类药物。药用胰岛素有很多种,包括速效型(如门冬胰岛素)和长效性(如地特胰岛素)等。胰岛素可以治疗多种疾病,包括糖尿病和
  • 香蕉喵《香蕉喵》(日语:ばなにゃ)是一部由TMS娱乐有限公司制作的日本动画,于2016年7月4日开始播出。动画中的香蕉喵形象是 Q-lia(日语:クーリア) 所开发的角色商品系列,是一种香蕉和猫的结
  • 西山西山可以指:
  • 俄罗斯总理俄罗斯总理,正式名称为俄罗斯联邦政府主席(俄语:Председатель Правительства,中文也称俄罗斯联邦政府总理或俄罗斯联邦总理)是俄罗斯联邦政府的首脑,俄
  • K-pop Star 6由各公司派出的选手,三队一组进行比赛,第一名晋升为TOP10,第二名需与别组的第二名进行再对抗(赢的晋升为TOP10,输的就被淘汰),第三名则淘汰(YG vs JYP vs Antenna Music)Kriesha Ti
  • 锺依芹锺依芹(1991年8月15日-),台湾苗栗县客家人,有客家小公主之称,毕业于建台中学,于大学推荐甄试考取世新大学广电系,加入第五届《超级星光大道》,成为参赛者之一,特点为样子和嗓音甜美,颇
  • 车臣共和国历史车臣人的祖先阿瓦尔人起源于亚洲西部,自15世纪奥斯曼帝国入侵开始,车臣人在高加索山区不断抵抗外来入侵。自从投向穆斯林的阵营,便缓和了与奥斯曼帝国的紧张关系,但却与信奉基督
  • 应用网络架构应用网络架构 (英文: App Network Architecture)是为设计、构建和管理一个应用网络提供一个构架和技术基础的蓝图。应用网络架构定义了网络中各个应用直接的逻辑或者拓扑关
  • 汉娜·诺伊曼猜想群论中,汉娜·诺伊曼猜想是关于一个自由群的两个有限生成子群的交的秩,1957年由汉娜·诺伊曼提出。2011年伊戈尔·米涅耶夫(Igor Mineyev)和乔尔·弗里德曼(Joel Friedman)各自证
  • 清白专案清白专案(Innocence Project),是美国、加拿大、英国、澳洲和新西兰的一个非牟利法律组织,利用基因鉴定方法证明被错判有罪的人的清白,并且改革刑事司法系统、调查及宣传出现冤狱